Apa itu Persekitaran, himpunan terbuka?

Contoh 12.2

Selang terbuka bersifat terbuka: karena untuk $x \in \intoo{a}{b}$, ambillah $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. Setengah garis $\intoo{a}{+\infty}$ terbuka; adapun $\R$ dan $\emptyset$ terbuka (yang terakhir secara hampa). Sedangkan $\intcc{0}{1}$ tidak terbuka: karena tak ada selang di sekitar $0$ yang tinggal di dalamnya.

Contoh 12.4 (Mengesahkan keterbukaan dengan jari-jari yang eksplisit)

Apakah $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ terbuka? Ya, dan sertifikatnya dapat dituliskan: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, yaitu gabungan dua setengah garis yang terbuka, sehingga terbuka menurut Proposisi 12.3. Sebagai alternatifnya, berargumenlah titik demi titik: untuk $x \in U$ dengan $x > \sqrt 2$, ambillah $r = x - \sqrt2 > 0$: maka setiap $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ memenuhi $y > \sqrt 2$, sehingga $y^2 > 2$; simetris dengan itu di sebelah kirinya. Kedua gayanya penting — yang struktural (yaitu membangun dari himpunan terbuka yang dikenal lewat gabungan dan irisan hingga) lebih baik penskalaannya, sedangkan yang bergaya $\varepsilon$ berjalan ketika tak ada struktur yang kasatmata; dan Bab 13 akan menambahkan yang ketiga, yang paling ampuh: bahwa $U$ merupakan prapeta dari $\intoo{2}{+\infty}$ yang terbuka di bawah $x \mapsto x^2$ yang kontinu.

Contoh 12.8

Ruas $\intcc{a}{b}$, setengah garis $\intco{a}{+\infty}$, himpunan hingga, dan $\Z$ (karena barisan bilangan bulat yang konvergen akhirnya konstan) bersifat tertutup. Sedangkan $\intoc{0}{1}$ tak terbuka (karena gagal di $1$) dan tak tertutup (karena $\frac 1n \to 0 \notin$ himpunannya): jadi kebanyakan himpunan terbukan keduanya. Adapun $\R$ dan $\emptyset$ sekaligus terbuka dan tertutup — dan hanya keduanyalah himpunan bagian $\R$ yang demikian (Latihan 12.9).