Apa itu Himpunan tertutup?

Contoh 12.7 (Uji barisannya, dari kedua arah)

Tertutup: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Misalkan $u_k \in F$ dengan $u_k \to \ell$. Jendela $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ hanya memuat titik $F$ yang berhingga banyak (yaitu bilangan bulat yang berhingga banyak, dan $n + \frac1n$ yang berhingga banyak), lalu di luar suatu peringkat semua $u_k$ terletak di dalamnya: sehingga barisannya mengambil nilai yang berhingga banyak, dan karena konvergen, ia akhirnya konstan (seperti pada Latihan 12.3): jadi $\ell \in F$. Tertutup — meskipun $F$ memuat pasangan titik yang berjarak $\frac1n$, sedekat-dekatnya.

Tak tertutup: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$. Barisan $\frac1n + \frac1n \in G$ menuju $0$, padahal $0 \notin G$ (karena ia jumlah dua suku yang positif): jadi uji barisannya gagal, sehingga $G$ tak tertutup. Menariknya, setiap $\frac1m$ memang termasuk $\overline G \cap G$: memang $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. Inti gagasan penutupnya: bahwa untuk membuktikan ketertutupan, kendalikanlah semua barisan yang konvergen sekaligus (biasanya lewat kehinggaan lokal atau lewat argumen rumus tertutup); sedangkan untuk membantahnya, satu barisan pelarian yang terpilih baik sudah cukup — ketaksetangkupan itulah yang membuat arah negatifnya menjadi yang mudah, dan contoh penyangkal bab ini semuanya berbentuk satu baris seperti ini.

Contoh 12.8

Ruas $\intcc{a}{b}$, setengah garis $\intco{a}{+\infty}$, himpunan hingga, dan $\Z$ (karena barisan bilangan bulat yang konvergen akhirnya konstan) bersifat tertutup. Sedangkan $\intoc{0}{1}$ tak terbuka (karena gagal di $1$) dan tak tertutup (karena $\frac 1n \to 0 \notin$ himpunannya): jadi kebanyakan himpunan terbukan keduanya. Adapun $\R$ dan $\emptyset$ sekaligus terbuka dan tertutup — dan hanya keduanyalah himpunan bagian $\R$ yang demikian (Latihan 12.9).

Contoh 12.9 (Himpunan terbuka yang dirakit dari kepingan tak hingga banyak)

Di sini $\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: yaitu gabungan tak hingga atas selang terbuka, sehingga terbuka menurut Proposisi 12.3 — jadi $\Z$ tertutup tanpa memerlukan argumen barisan apa pun. Perhatikan pembagian kerja pada aturan kestabilannya: bahwa gabungan himpunan terbuka boleh sebarang (karena setiap titiknya hanya memerlukan sertifikatnya sendiri, yang dipasok satu himpunan yang memuatnya), sedangkan irisannya harus tetap hingga (sebab sertifikatnya harus diiriskan, dan jari-jari yang tak hingga banyak dapat menyusut menjadi nol). Latihan 12.10 akan menunjukkan bahwa contoh ini merupakan bentuk umumnya: bahwa setiap himpunan bagian $\R$ yang terbuka merupakan gabungan lepas yang terbilang atas selang terbuka.