¿Qué es Entorno, conjunto abierto?

Ejemplo 12.2

Los intervalos abiertos son abiertos: para $x \in \intoo{a}{b}$, tómese $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. Las semirrectas $\intoo{a}{+\infty}$ son abiertas; $\R$ y $\emptyset$ son abiertos (el segundo, por vacuidad). $\intcc{0}{1}$ no es abierto: ningún intervalo en torno a $0$ se queda dentro.

Ejemplo 12.4 (Certificar que un conjunto es abierto con radios explícitos)

¿Es abierto $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$? Sí, y el certificado se puede escribir: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, unión de dos semirrectas abiertas, luego abierto por la Proposición 12.3. Alternativamente, razónese punto por punto: para $x \in U$ con $x > \sqrt 2$, tómese $r = x - \sqrt2 > 0$: todo $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ cumple $y > \sqrt 2$ y, por tanto, $y^2 > 2$; simétricamente por la izquierda. Los dos estilos importan — el estructural (construir a partir de abiertos conocidos con uniones e intersecciones finitas) escala mejor, y el de $\varepsilon$ funciona cuando no se ve ninguna estructura; y el Capítulo 13 añadirá un tercero, el más potente: $U$ es la imagen recíproca del abierto $\intoo{2}{+\infty}$ por la función continua $x \mapsto x^2$.

Ejemplo 12.8

Los segmentos $\intcc{a}{b}$, las semirrectas $\intco{a}{+\infty}$, los conjuntos finitos y $\Z$ (una sucesión convergente de enteros acaba siendo constante) son cerrados. $\intoc{0}{1}$ no es abierto (falla en $1$) ni cerrado ($\frac 1n \to 0 \notin$ el conjunto): la mayoría de los conjuntos no son ni una cosa ni la otra. $\R$ y $\emptyset$ son a la vez abiertos y cerrados — y son los únicos subconjuntos de $\R$ así (Ejercicio 12.9).