Qu'est-ce que « Voisinage, ouvert » ?

Exemple 12.2

Les intervalles ouverts sont des ouverts : pour $x \in \intoo{a}{b}$, prendre $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. Les demi-droites $\intoo{a}{+\infty}$ sont ouvertes ; $\R$ et $\emptyset$ sont ouverts (le second trivialement). $\intcc{0}{1}$ n’est pas ouvert : aucun intervalle autour de $0$ n’y reste contenu.

Exemple 12.4 (Certifier l’ouverture par des rayons explicites)

L’ensemble $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ est-il ouvert ? Oui, et le certificat peut s’écrire explicitement : $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, réunion de deux demi-droites ouvertes, ouverte d’après la Proposition 12.3. On peut aussi raisonner point par point : pour $x \in U$ avec $x > \sqrt 2$, prendre $r = x - \sqrt2 > 0$ : tout $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ vérifie $y > \sqrt 2$, donc $y^2 > 2$ ; symétriquement à gauche. Les deux styles comptent — le style structurel (construire à partir d’ouverts connus par réunions et intersections finies) passe mieux à l’échelle, le style en $\varepsilon$ fonctionne lorsque aucune structure n’est visible ; et le Chapitre 13 en ajoutera un troisième, le plus puissant : $U$ est l’image réciproque de l’ouvert $\intoo{2}{+\infty}$ par l’application continue $x \mapsto x^2$.

Exemple 12.8

Les segments $\intcc{a}{b}$, les demi-droites $\intco{a}{+\infty}$, les ensembles finis, $\Z$ (une suite convergente d’entiers est stationnaire) sont fermés. $\intoc{0}{1}$ n’est ni ouvert (cela échoue en $1$) ni fermé ($\frac 1n \to 0 \notin$ l’ensemble) : la plupart des parties ne sont ni l’un ni l’autre. $\R$ et $\emptyset$ sont à la fois ouverts et fermés — et ce sont les seules parties de $\R$ dans ce cas (Exercice 12.9).