Apa itu residu? — Matematika

Definisi 17.3 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 17 — Deret Laurent dan Teorema Residu

Jika $f$ holomorfik pada cakram tertusuk $D(a, R)\setminus \{a\}$ , uraikanlah lewat Laurent (dengan $r = 0$ ). Ada tiga kasus yang saling eksklusif:

semua $c_n = 0$ untuk $n < 0$ : yakni kesingularan terhapuskan (sebab deret tak negatifnya memperluas $f$ secara holomorfik ke $a$ );
$c_n \neq 0$ untuk berhingga banyak, setidaknya satu, $n < 0$ : yakni sebuah kutub berorde $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; setara dengan itu $f = g/(z-a)^m$ dengan $g$ holomorfik dan $g(a) \neq 0$ ; setara pula dengan $\abs{f(z)} \to \infty$ saat $z\to a$ ;
tak berhingga banyak $c_n \neq 0$ yang negatif: yakni kesingularan hakiki.

Sedangkan residu di sana adalah $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ . Dan fungsi yang holomorfik pada $\Omega$ dikurangi sebuah himpunan kutub disebut meromorfik pada $\Omega$ .

Contoh

Contoh 17.7 (Empat tipe integral klasiknya)

(a) Rasional atas $\R$ : untuk $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ , tutuplah dengan setengah lingkaran besar $S_R$ di setengah bidang atasnya: sebab integrannya $O(R^{-4})$ di sana, sehingga $\int_{S_R} \to 0$ (lewat ML), dan teorema residu dengan kutub $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (yang sederhana, berresidu $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ di sebuah kutub) memberikan

\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} .

(b) Tipe Fourier: untuk $t \geq 0$ , $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — sebab setengah lingkaran atasnya berhasil karena $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ di sana; lalu dengan mengambil bagian realnya: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$ , yang menuntaskan rumus yang diterima pada Latihan 10.10. (c) Trigonometri atas satu periode: substitusikan $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , dan $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ : maka $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ (dengan $a > 1$ ) menjadi pencacahan residu di dalam lingkaran satuannya (Latihan 17.2). (d) Deret: pasangkan $f$ dengan $\pi\cot(\pi z)$ , yang kutubnya berupa bilangan bulat berresidu $1$ : sehingga soal akhir pekannya menjumlahkan $\sum n^{-2}$ dan $\sum n^{-4}$ dengan cara ini.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait