¿Qué es residuo?

Ejemplo 17.7 (Los cuatro tipos clásicos de integral)

(a) Racional sobre $\R$: para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$, ciérrese con una semicircunferencia grande $S_R$ en el semiplano superior: allí el integrando es $O(R^{-4})$, de modo que $\int_{S_R} \to 0$ (ML), y el teorema de los residuos con los polos $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, residuos $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ en un polo) da

(b) Tipo Fourier: para $t \geq 0$, $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — la semicircunferencia superior funciona porque allí $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$; tomando partes reales: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$, lo que salda la fórmula admitida en el Ejercicio 10.10. (c) Trigonométrica sobre un periodo: sustitúyase $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$, $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ($a > 1$) se convierte en un recuento de residuos dentro de la circunferencia unidad (Ejercicio 17.2). (d) Series: emparéjese $f$ con $\pi\cot(\pi z)$, cuyos polos son los enteros con residuo $1$: el problema de fin de semana suma así $\sum n^{-2}$ y $\sum n^{-4}$.