¿Qué es residuo? — Matemáticas

Definición 17.3 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 17 — Series de Laurent y teorema de los residuos

Si $f$ es holomorfa en un disco punteado $D(a, R)\setminus \{a\}$ , desarróllese por Laurent ( $r = 0$ ). Tres casos excluyentes:

todos los $c_n = 0$ para $n < 0$ : singularidad evitable (la serie de índices no negativos extiende $f$ holomorfamente a $a$ );
$c_n \neq 0$ para un número finito, al menos uno, de $n < 0$ : un polo de orden $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; equivalentemente, $f = g/(z-a)^m$ , $g$ holomorfa, $g(a) \neq 0$ ; equivalentemente, $\abs{f(z)} \to \infty$ cuando $z\to a$ ;
infinitos $c_n \neq 0$ negativos: singularidad esencial.

El residuo es $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ . Una función holomorfa en $\Omega$ menos un conjunto de polos es meromorfa en $\Omega$ .

Ejemplos

Ejemplo 17.7 (Los cuatro tipos clásicos de integral)

(a) Racional sobre $\R$ : para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ , ciérrese con una semicircunferencia grande $S_R$ en el semiplano superior: allí el integrando es $O(R^{-4})$ , de modo que $\int_{S_R} \to 0$ (ML), y el teorema de los residuos con los polos $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, residuos $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ en un polo) da

\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} .

(b) Tipo Fourier: para $t \geq 0$ , $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — la semicircunferencia superior funciona porque allí $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ ; tomando partes reales: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$ , lo que salda la fórmula admitida en el Ejercicio 10.10. (c) Trigonométrica sobre un periodo: sustitúyase $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ : $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ( $a > 1$ ) se convierte en un recuento de residuos dentro de la circunferencia unidad (Ejercicio 17.2). (d) Series: emparéjese $f$ con $\pi\cot(\pi z)$ , cuyos polos son los enteros con residuo $1$ : el problema de fin de semana suma así $\sum n^{-2}$ y $\sum n^{-4}$ .

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Ejemplos

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