Wat is residu?

Voorbeeld 17.7 (De vier klassieke integraaltypen)

(a) Rationaal over $\R$: sluit voor $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ af met een grote halve cirkel $S_R$ in het bovenste halfvlak: de integrand is daar $O(R^{-4})$, dus $\int_{S_R} \to 0$ (ML), en de residustelling met de polen $\eu^{\iu\pi/4}$ en $\eu^{3\iu\pi/4}$ (enkelvoudig, met residu $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ in een pool) geeft

(b) Fouriertype: voor $t \geq 0$ is $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — de bovenste halve cirkel werkt omdat daar $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$; reële delen nemen geeft $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$, wat de zonder bewijs aangenomen formule van Oefening 10.10 vereffent. (c) Goniometrisch over een periode: substitueer $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ en $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ($a > 1$) wordt een residutelling binnen de eenheidscirkel (Oefening 17.2). (d) Reeksen: paar $f$ met $\pi\cot(\pi z)$, waarvan de polen de gehele getallen zijn met residu $1$: zo sommeert de weekendopgave $\sum n^{-2}$ en $\sum n^{-4}$.