Qu'est-ce que « résidu » ?

Exemple 17.7 (Les quatre types classiques d’intégrales)

(a) Rationnelle sur $\R$ : pour $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$, fermer avec un grand demi-cercle $S_R$ dans le demi-plan supérieur : l’intégrande est $O(R^{-4})$ là, donc $\int_{S_R} \to 0$ (ML), et le théorème des résidus avec les pôles $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, résidus $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ en un pôle) donne

(b) Type Fourier : pour $t \geq 0$, $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — le demi-cercle supérieur marche car $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ là ; en prenant les parties réelles : $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$, réglant la formule admise de l’Exercice 10.10. (c) Trigonométrique sur une période : substituer $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$, $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ : $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ($a > 1$) devient un comptage de résidus dans le cercle unité (l’Exercice 17.2). (d) Séries : apparier $f$ avec $\pi\cot(\pi z)$, dont les pôles sont les entiers de résidu $1$ : le problème de week-end somme $\sum n^{-2}$ et $\sum n^{-4}$ ainsi.