अवशेष क्या है?

उदाहरण 17.7 (चार शास्त्रीय समाकल प्रकार)

(क) $\R$ पर परिमेय: $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ के लिए ऊपरी अर्ध-समतल में किसी बड़े अर्धवृत्त $S_R$ से बंद कीजिए: वहाँ समाकल्य $O(R^{-4})$ है, अतः $\int_{S_R} \to 0$ (ML), और ध्रुवों $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (सरल, किसी ध्रुव पर अवशेष $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$) के साथ अवशेष प्रमेय देती है

(ख) फूरिये प्रकार: $t \geq 0$ के लिए $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — ऊपरी अर्धवृत्त इसलिए काम करता है कि वहाँ $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$; और वास्तविक भाग लेने पर: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$, जिससे अभ्यास 10.10 का स्वीकृत सूत्र तय हो जाता है। (ग) एक आवर्त पर त्रिकोणमितीय: $z = \eu^{\iu t}$, $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$, $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ प्रतिस्थापित कीजिए: तब $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ($a > 1$) इकाई वृत्त के भीतर अवशेषों की गणना बन जाता है (अभ्यास 17.2)। (घ) श्रेणी: $f$ को $\pi\cot(\pi z)$ के साथ युग्मित कीजिए, जिसके ध्रुव पूर्णांक हैं और अवशेष $1$: सप्ताहांत समस्या $\sum n^{-2}$ और $\sum n^{-4}$ का योग इसी प्रकार लेती है।