Apa itu Ruang peluang terbilang? — Matematika

Definisi 21.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 21 — Peluang pada Ruang Terbilang

Misalkan $\Omega$ himpunan tak kosong yang berhingga atau terbilang (yakni ruang sampelnya). Sebuah ukuran peluang pada $\Omega$ adalah pemetaan $\P$ dari himpunan $\mathcal{P}(\Omega)$ berisi semua himpunan bagian $\Omega$ (yakni kejadian) ke $[0, 1]$ sedemikian sehingga:

$\P(\Omega) = 1$ ;
(keaditifan- $\sigma$ ) untuk setiap barisan $(A_n)_{n\in\N}$ berisi kejadian yang saling lepas berpasangan,

$\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .$

Adapun pasangan $(\Omega, \P)$ disebut ruang peluang (yang terbilang).

Contoh

Contoh 21.5 (Model geometri: menunggu gambar pertama)

Lemparkan sekeping koin yang berpeluang gambar $p \in \intoo{0}{1}$ berulang kali, lalu misalkan $\Omega = \N^* \cup \{\infty\}$ mencatat pangkat gambar pertamanya. Adapun bobot alaminya adalah

\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

yakni sebuah ukuran peluang karena $\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$ : jadi dengan peluang $1$ permainannya berakhir — tetapi ruang sampelnya tetap harus memuat kemungkinan bahwa ia tidak berakhir. Dan keaditifan terbilangnyalah yang memungkinkan kita menegaskan $\P(\text{permainannya berakhir}) = \sum_k \P(\{k\})$ .

Contoh 21.8 (Batas gabungan: kasar tetapi tak terhancurkan)

Kesubaditifan dengan berhingga banyak kejadian — yakni batas gabungan — menukar ketepatan dengan keuniversalan. Untuk masalah ulang tahun dengan $23$ orang, membatasi peluang tabrakannya lewat jumlah atas pasangannya memberi

\P(\text{tabrakan}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

terhadap nilai benarnya $0.507$ : jadi meleset dengan selisih lebar, karena tabrakannya bertumpang tindih. Namun batasnya tak menuntut kebebasan, tak menuntut hukum bersama, dan tak menuntut apa pun selain peluang pasangannya — dan itulah sebabnya, pada soal akhir pekan dan di sepanjang Bab 22, batas gabungan menjadi perkakas pertama yang dihunus: sebab ketika ia kebetulan kecil, perkaranya selesai tanpa pemodelan lebih lanjut.

Contoh 21.9 (Sebuah enam datang, cepat atau lambat)

Lemparkan dadu setimbang selamanya lalu misalkan $B_n = {}$ “sekurangnya satu enam di antara $n$ lemparan pertamanya”, yakni barisan kejadian yang naik dengan $\P(B_n) = 1 - (5/6)^n$ . Maka kekontinuan monotonnya memberi

\P(\text{sebuah enam akhirnya muncul}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

Yang penting bukanlah limitnya (yang jelas) melainkan langkah logisnya: sebab “akhirnya” merupakan kejadian tentang lemparan yang tak berhingga banyaknya, di luar jangkauan keaditifan berhingga, dan kekontinuan monoton — yakni keaditifan- $\sigma$ — persislah aksioma yang memberinya sebuah peluang. Jadi setiap pernyataan hampir pasti pada sisa buku ini melewati pintu sempit yang sama.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait