Qu'est-ce que « Espace probabilisé dénombrable » ? — Mathématiques

Définition 21.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 21 — Probabilités sur les espaces dénombrables

Soit $\Omega$ un ensemble non vide fini ou dénombrable (l’univers). Une mesure de probabilité sur $\Omega$ est une application $\P$ de l’ensemble $\mathcal{P}(\Omega)$ de toutes les parties de $\Omega$ (les événements) dans $[0, 1]$ telle que :

$\P(\Omega) = 1$ ;
( $\sigma$ -additivité) pour toute suite $(A_n)_{n\in\N}$ d’événements deux à deux disjoints,

$\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .$

Le couple $(\Omega, \P)$ est un espace probabilisé (dénombrable).

Exemples

Exemple 21.5 (Modèle géométrique : l’attente du premier pile)

On lance répétées une pièce de probabilité de pile $p \in \intoo{0}{1}$ , et l’on pose $\Omega = \N^* \cup \{\infty\}$ pour enregistrer le rang du premier pile. Les poids naturels sont

\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

une mesure de probabilité puisque $\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$ : avec probabilité $1$ le jeu se termine — mais l’univers doit tout de même contenir la possibilité qu’il ne se termine pas. L’additivité dénombrable est ce qui nous permet d’affirmer $\P(\text{le jeu se termine}) = \sum_k \P(\{k\})$ .

Exemple 21.8 (La borne de l’union : grossière mais indestructible)

La sous-additivité avec un nombre fini d’événements — la borne de l’union — échange la précision contre l’universalité. Pour le problème des anniversaires avec $23$ personnes, borner la probabilité de collision par la somme sur les paires donne

\P(\text{collision}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

contre la vraie valeur $0.507$ : éloignée d’une large marge, car les collisions se recouvrent. Pourtant la borne ne requiert aucune indépendance, aucune loi jointe, rien d’autre que les probabilités des paires — c’est pourquoi, dans le devoir du week-end et tout au long du Chapitre 22, la borne de l’union est le premier outil dégainé : lorsqu’elle se trouve être petite, l’affaire est réglée sans autre modélisation.

Exemple 21.9 (Un six finit par sortir)

Lançons un dé équilibré indéfiniment et posons $B_n = {}$ « au moins un six parmi les $n$ premiers lancers », une suite croissante d’événements avec $\P(B_n) = 1 - (5/6)^n$ . La continuité monotone donne

\P(\text{un six finit par apparaître}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

Le point n’est pas la limite (évidente) mais l’étape logique : « finir par » est un événement portant sur une infinité de lancers, hors de portée de l’additivité finie, et la continuité monotone — c’est-à-dire la $\sigma$ -additivité — est précisément l’axiome qui lui attribue une probabilité. Tout énoncé presque sûr dans la suite de ce livre passe par cette même porte étroite.

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Exemples

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