¿Qué es Espacio de probabilidad numerable? — Matemáticas

Definición 21.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 21 — Probabilidad sobre espacios numerables

Sea $\Omega$ un conjunto finito o numerable no vacío (el espacio muestral). Una medida de probabilidad sobre $\Omega$ es una aplicación $\P$ del conjunto $\mathcal{P}(\Omega)$ de todos los subconjuntos de $\Omega$ (los sucesos) en $[0, 1]$ tal que:

$\P(\Omega) = 1$ ;
( $\sigma$ -aditividad) para toda sucesión $(A_n)_{n\in\N}$ de sucesos disjuntos dos a dos,

$\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .$

El par $(\Omega, \P)$ es un espacio de probabilidad (numerable).

Ejemplos

Ejemplo 21.5 (Modelo geométrico: esperando la primera cara)

Lánzese repetidamente una moneda con probabilidad de cara $p \in \intoo{0}{1}$ , y sea $\Omega = \N^* \cup \{\infty\}$ el registro del rango de la primera cara. Los pesos naturales son

\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

una medida de probabilidad, pues $\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$ : con probabilidad $1$ el juego termina; pero el espacio muestral debe seguir conteniendo la posibilidad de que no lo haga. La aditividad numerable es lo que permite afirmar $\P(\text{el juego termina}) = \sum_k \P(\{k\})$ .

Ejemplo 21.8 (La cota de la unión: burda pero indestructible)

La subaditividad con un número finito de sucesos —la cota de la unión— cambia precisión por universalidad. Para el problema del cumpleaños con $23$ personas, acotar la probabilidad de colisión por la suma sobre parejas da

\P(\text{colisión}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

frente al valor verdadero $0.507$ : se pasa por mucho, porque las colisiones se solapan. Y sin embargo, la cota no necesita independencia, ni ley conjunta, ni nada más que las probabilidades de las parejas; por eso, en el problema de fin de semana y a lo largo del Capítulo 22, la cota de la unión es la primera herramienta que se saca: cuando resulta ser pequeña, el asunto queda zanjado sin más modelización.

Ejemplo 21.9 (Un seis llega, tarde o temprano)

Lánzese un dado equilibrado para siempre y sea $B_n = {}$ “al menos un seis entre las $n$ primeras tiradas”, una sucesión creciente de sucesos con $\P(B_n) = 1 - (5/6)^n$ . La continuidad monótona da

\P(\text{aparece un seis tarde o temprano}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

Lo importante no es el límite (obvio), sino el paso lógico: “tarde o temprano” es un suceso acerca de infinitas tiradas, fuera del alcance de la aditividad finita, y la continuidad monótona —es decir, la $\sigma$ -aditividad— es precisamente el axioma que le asigna una probabilidad. Todo enunciado casi seguro del resto de este libro pasa por esta misma puerta estrecha.

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