Wat is Aftelbare kansruimte? — Wiskunde

Definitie 21.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 21 — Kansrekening op aftelbare ruimten

Zij $\Omega$ een niet-lege eindige of aftelbare verzameling (de uitkomstenruimte). Een kansmaat op $\Omega$ is een afbeelding $\P$ van de verzameling $\mathcal{P}(\Omega)$ van alle deelverzamelingen van $\Omega$ (gebeurtenissen) naar $[0, 1]$ zodanig dat:

$\P(\Omega) = 1$ ;
( $\sigma$ -additiviteit) voor elke rij $(A_n)_{n\in\N}$ paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen geldt

$\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .$

Het paar $(\Omega, \P)$ is een (aftelbare) kansruimte.

Voorbeelden

Voorbeeld 21.5 (Meetkundig model: wachten op de eerste kop)

Werp herhaaldelijk met een munt met kanskop $p \in \intoo{0}{1}$ , en laat $\Omega = \N^* \cup \{\infty\}$ de rang van de eerste kop registreren. De natuurlijke gewichten zijn

\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

een kansmaat omdat $\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$ : met kans $1$ eindigt het spel — maar de uitkomstenruimte moet toch de mogelijkheid bevatten dat het niet eindigt. De aftelbare additiviteit is wat ons toelaat te beweren dat $\P(\text{het spel eindigt}) = \sum_k \P(\{k\})$ .

Voorbeeld 21.8 (De somgrens: ruw maar onverwoestbaar)

De subadditiviteit met eindig veel gebeurtenissen — de somgrens — ruilt nauwkeurigheid in voor universaliteit. Voor het verjaardagsprobleem met $23$ mensen geeft de kans op een botsing begrenzen door de som over de paren

\P(\text{botsing}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

tegenover de werkelijke $0.507$ : er ruim naast, omdat botsingen elkaar overlappen. Toch heeft de grens geen onafhankelijkheid nodig, geen gezamenlijke verdeling, niets dan de kansen op de paren — en daarom is in de weekendopgave en overal in Hoofdstuk 22 de somgrens het eerst getrokken wapen: blijkt zij klein te zijn, dan is de zaak beslecht zonder verdere modellering.

Voorbeeld 21.9 (Een zes komt, uiteindelijk)

Gooi eeuwig met een eerlijke dobbelsteen en zij $B_n = {}$ “minstens één zes onder de eerste $n$ worpen”, een stijgende rij gebeurtenissen met $\P(B_n) = 1 - (5/6)^n$ . De monotone continuïteit geeft

\P(\text{er verschijnt uiteindelijk een zes}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

Het punt is niet de (voor de hand liggende) limiet maar de logische stap: “uiteindelijk” is een gebeurtenis over oneindig veel worpen, buiten het bereik van de eindige additiviteit, en de monotone continuïteit — dat wil zeggen de $\sigma$ -additiviteit — is precies het axioma dat er een kans aan toekent. Elke uitspraak “bijna zeker” in de rest van dit boek gaat door deze ene smalle deur.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen