O que é Espaço de probabilidade enumerável? — Matemática

Definição 21.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 21 — Probabilidade em espaços enumeráveis

Seja $\Omega$ um conjunto não vazio, finito ou enumerável (o espaço amostral). Uma medida de probabilidade em $\Omega$ é uma aplicação $\P$ do conjunto $\mathcal{P}(\Omega)$ de todos os subconjuntos de $\Omega$ (os eventos) em $[0, 1]$ tal que:

$\P(\Omega) = 1$ ;
( $\sigma$ -aditividade) para toda sequência $(A_n)_{n\in\N}$ de eventos dois a dois disjuntos,

$\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .$

O par $(\Omega, \P)$ é um espaço de probabilidade (enumerável).

Exemplos

Exemplo 21.5 (Modelo geométrico: esperando a primeira cara)

Lance repetidamente uma moeda com probabilidade de cara $p \in \intoo{0}{1}$ e seja $\Omega = \N^* \cup \{\infty\}$ o registro da posição da primeira cara. Os pesos naturais são

\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

uma medida de probabilidade, pois $\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$ : com probabilidade $1$ o jogo termina — mas o espaço amostral deve ainda conter a possibilidade de que ele não termine. A aditividade enumerável é o que nos permite afirmar $\P(\text{o jogo termina}) = \sum_k \P(\{k\})$ .

Exemplo 21.8 (A cota da união: grosseira mas indestrutível)

A subaditividade com finitos eventos — a cota da união — troca precisão por universalidade. Para o problema dos aniversários com $23$ pessoas, majorar a probabilidade de colisão pela soma sobre os pares dá

\P(\text{colisão}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

contra o verdadeiro $0.507$ : errado por larga margem, porque as colisões se sobrepõem. Ainda assim, a cota não precisa de independência, de lei conjunta, de nada além das probabilidades de pares — e é por isso que, no problema de fim de semana e ao longo de todo o Capítulo 22, a cota da união é a primeira ferramenta sacada: quando ela por acaso é pequena, a questão está resolvida sem modelagem adicional.

Exemplo 21.9 (Um seis vem, mais cedo ou mais tarde)

Lance um dado honesto indefinidamente e seja $B_n = {}$ “ao menos um seis entre os $n$ primeiros lançamentos”, uma sequência crescente de eventos com $\P(B_n) = 1 - (5/6)^n$ . A continuidade monótona dá

\P(\text{um seis acaba aparecendo}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

O ponto não é o limite (óbvio), mas o passo lógico: “mais cedo ou mais tarde” é um evento sobre infinitos lançamentos, fora do alcance da aditividade finita, e a continuidade monótona — isto é, a $\sigma$ -aditividade — é precisamente o axioma que lhe atribui uma probabilidade. Toda afirmação quase certa no resto deste livro passa por essa mesma porta estreita.

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