गणनीय प्रायिकता समष्टि क्या है? — गणित

परिभाषा 21.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 21 — गणनीय समष्टियों पर प्रायिकता

मान लीजिए $\Omega$ कोई अरिक्त परिमित या गणनीय समुच्चय है (प्रतिदर्श समष्टि)। $\Omega$ पर प्रायिकता माप $\Omega$ के सारे उपसमुच्चयों (घटनाओं) के समुच्चय $\mathcal{P}(\Omega)$ से $[0, 1]$ में कोई ऐसा प्रतिचित्रण $\P$ है कि:

$\P(\Omega) = 1$ ;
( $\sigma$ -योज्यता) जोड़े-जोड़े में असंयुक्त घटनाओं के हर अनुक्रम $(A_n)_{n\in\N}$ के लिए,

$\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .$

युग्म $(\Omega, \P)$ कोई (गणनीय) प्रायिकता समष्टि है।

उदाहरण

उदाहरण 21.5 (ज्यामितीय प्रतिरूप: पहले चित्त की प्रतीक्षा)

चित्त की प्रायिकता $p \in \intoo{0}{1}$ वाला कोई सिक्का बार-बार उछालिए, और मान लीजिए $\Omega = \N^* \cup \{\infty\}$ पहले चित्त की कोटि दर्ज करता है। स्वाभाविक भार हैं

\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

जो कोई प्रायिकता माप है, क्योंकि $\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$ : अर्थात् प्रायिकता $1$ के साथ खेल समाप्त हो जाता है — पर प्रतिदर्श समष्टि में यह संभावना भी रहनी ही चाहिए कि वह समाप्त न हो। गणनीय योज्यता ही हमें $\P(\text{खेल समाप्त होता है}) = \sum_k \P(\{k\})$ कहने देती है।

उदाहरण 21.8 (संघ परिबंध: कच्चा, पर अटूट)

परिमित रूप से कई घटनाओं के साथ उप-योज्यता — अर्थात् संघ परिबंध — परिशुद्धता देकर सार्वभौमिकता ख़रीद लेती है। $23$ व्यक्तियों वाली जन्मदिन समस्या में टकराव की प्रायिकता को युग्मों पर योग से परिबद्ध करने पर सच्चे $0.507$ के सामने

\P(\text{टकराव}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

मिलता है: काफ़ी दूर, क्योंकि टकराव आपस में अतिव्यापी होते हैं। फिर भी इस परिबंध को कोई स्वतंत्रता नहीं चाहिए, न कोई संयुक्त नियम, केवल युग्म-प्रायिकताएँ — और इसीलिए सप्ताहांत समस्या में तथा अध्याय 22 भर संघ परिबंध सबसे पहले निकाला जाने वाला औज़ार है: जब वह संयोग से छोटा निकल आए, तब बात बिना किसी और प्रतिरूपण के तय हो जाती है।

उदाहरण 21.9 (छक्का अंततः आता ही है)

कोई निष्पक्ष पासा सदा फेंकते रहिए और मान लीजिए $B_n = {}$ “पहले $n$ फेंकों में कम से कम एक छक्का” है, जो घटनाओं का कोई वर्धमान अनुक्रम है, जहाँ $\P(B_n) = 1 - (5/6)^n$ । एकदिष्ट संततता देती है

\P(\text{अंततः कोई छक्का आता है}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

बात (स्पष्ट) सीमा की नहीं, तार्किक पग की है: “अंततः” अपरिमित रूप से कई फेंकों के विषय में कोई घटना है, जो परिमित योज्यता की पहुँच से बाहर है, और एकदिष्ट संततता — यानी $\sigma$ -योज्यता — ठीक वही अभिगृहीत है जो उसे कोई प्रायिकता सौंपती है। इस पुस्तक के शेष भाग का हर लगभग-निश्चित कथन इसी सँकरे द्वार से गुज़रता है।

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