Apa itu subgrup normal?

Contoh 1.9

Lima aksi ini menggerakkan seluruh teori grup berhingga:

1. $G$ pada dirinya sendiri melalui translasi kiri $g \cdot x = gx$: bebas dan transitif.
2. $G$ pada dirinya sendiri melalui konjugasi $g \cdot x = gxg^{-1}$: orbitnya adalah kelas konjugasi, stabilisatornya sentralisator $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$, titik tetapnya pusat $Z(G)$.
3. $G$ pada ruang koset $G/H$ melalui $g \cdot xH = gxH$: transitif, dan stabilisator koset $H$ adalah $H$ sendiri. Setiap aksi transitif berbentuk demikian (Latihan 1.8).
4. $G$ pada himpunan subgrupnya melalui konjugasi: stabilisator $H$ adalah normalisator $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$, yakni subgrup terbesar dari $G$ yang di dalamnya $H$ normal.
5. $S_n$ pada $\intint{1}{n}$: induk dari segala contoh.

Contoh 1.22

Misalkan $\abs G = pq$ dengan $p < q$ bilangan prima dan $p \nmid q - 1$. Maka $n_q \mid p$ dan $n_q \equiv 1 \bmod q$ memaksa $n_q = 1$ (karena $p < q$); $n_p \mid q$ dan $n_p \equiv 1 \bmod p$ memaksa $n_p = 1$ (karena $q \not\equiv 1 \bmod p$). Misalkan $P, Q$ dua subgrup Sylow normal itu: $P \cap Q = \{e\}$ (ordenya relatif prima), sehingga $\abs{PQ} = pq$ (Latihan 1.4) dan $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$ menurut Proposisi 1.24 di bawah. Setiap grup berorde $15$, $33$, $35$, … bersifat siklik. Kasus yang dikecualikan, $p \mid q - 1$, menghasilkan tepat satu grup lagi yang tak abelian — lihat soal akhir pekan (Soal 1.1).

Contoh 1.23 (Sensus Sylow yang lengkap: $S_4$)

Mari kita jalankan metode ini pada $G = S_4$, $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$. Sylow $3$: $n_3 \mid 8$, $n_3 \equiv 1 \bmod 3$, sehingga $n_3 \in \{1, 4\}$; karena $\langle(123)\rangle$ dan $\langle(124)\rangle$ berbeda, $n_3 = 4$ — keempat subgrup $\langle(abc)\rangle$, satu untuk setiap himpunan bagian beranggota $3$ $\{a, b, c\}$, mencakup ke-$8$ siklus tiga. Menurut Sylow II subgrup-subgrup itu saling konjugat, dan morfisma konjugasi $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ di sini merupakan isomorfisma (kernelnya termuat di $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ yang berorde $24/4 = 6$, dan subgrup normal dari $S_4$ di dalam grup serupa-$S_3$ ini, yaitu $N$, haruslah trivial: ia akan terdiri atas permutasi genap yang menetapkan keempat subgrup Sylow, dan hanya $e$ yang berbuat demikian). Sylow $2$: $n_2 \mid 3$, $n_2 \equiv 1 \bmod 2$: $n_2 \in \{1, 3\}$. Subgrup $D = \langle(1234), (13)\rangle$ berorde $8$ (sebuah dihedral $D_4$: simetri persegi dengan titik sudut $1, 2, 3, 4$), tidak normal ($(12)(1234)(12) = (2134)$ membangun subgrup siklus-$4$ yang lain), sehingga $n_2 = 3$: ketiga salinan $D_4$ bersesuaian dengan tiga cara memasangkan $4$ titik menjadi sebuah “persegi”. Perhatikan pelajaran dari sensus ini: $\abs{S_4} = 24$ menyisakan ruang bagi kedua Sylow untuk gagal normal, dan keduanya memang gagal — bandingkan dengan orde $12$, yang pencacahannya memaksa salah satunya normal (Bagian IV dari Soal 1.1).