Qu'est-ce que « sous-groupe normal » ?

Exemple 1.9

Cinq actions animent toute la théorie des groupes finis :

1. $G$ sur lui-même par translation à gauche $g \cdot x = gx$ : libre et transitive.
2. $G$ sur lui-même par conjugaison $g \cdot x = gxg^{-1}$ : les orbites sont les classes de conjugaison, les stabilisateurs les centralisateurs $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$, les points fixes le centre $Z(G)$.
3. $G$ sur l’espace des classes $G/H$ par $g \cdot xH = gxH$ : transitive, avec stabilisateur de la classe $H$ égal à $H$. Toute action transitive est de cette forme (Exercice 1.8).
4. $G$ sur son ensemble de sous-groupes par conjugaison : le stabilisateur de $H$ est le normalisateur $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$, le plus grand sous-groupe de $G$ dans lequel $H$ est normal.
5. $S_n$ sur $\intint{1}{n}$ : la mère de tous les exemples.

Exemple 1.22

Soit $\abs G = pq$ avec $p < q$ premiers et $p \nmid q - 1$. Alors $n_q \mid p$ et $n_q \equiv 1 \bmod q$ forcent $n_q = 1$ (car $p < q$) ; $n_p \mid q$ et $n_p \equiv 1 \bmod p$ forcent $n_p = 1$ (car $q \not\equiv 1 \bmod p$). Soient $P, Q$ les deux Sylow normaux : $P \cap Q = \{e\}$ (ordres premiers entre eux), donc $\abs{PQ} = pq$ (Exercice 1.4) et $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$ par la Proposition 1.24 ci-dessous. Tout groupe d’ordre $15$, $33$, $35$, … est cyclique. Le cas exclu $p \mid q - 1$ produit exactement un groupe de plus, non abélien — voir le problème du week-end (Problème 1.1).

Exemple 1.23 (Un recensement de Sylow complet : $S_4$)

Appliquons la méthode à $G = S_4$, $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$. Sylow $3$ : $n_3 \mid 8$, $n_3 \equiv 1 \bmod 3$, donc $n_3 \in \{1, 4\}$ ; comme $\langle(123)\rangle$ et $\langle(124)\rangle$ sont distincts, $n_3 = 4$ — les quatre sous-groupes $\langle(abc)\rangle$, un pour chaque sous-ensemble à $3$ éléments $\{a, b, c\}$, comptant pour les $8$ $3$-cycles. Par Sylow II ils sont conjugués, et le morphisme de conjugaison $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ est un isomorphisme ici (son noyau est contenu dans $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ d’ordre $24/4 = 6$, et un sous-groupe normal de $S_4$ à l’intérieur d’un $N$ de type $S_3$ doit être trivial : il serait formé de permutations paires fixant les quatre Sylow, et seul $e$ le fait). Sylow $2$ : $n_2 \mid 3$, $n_2 \equiv 1 \bmod 2$ : $n_2 \in \{1, 3\}$. Le sous-groupe $D = \langle(1234), (13)\rangle$ a ordre $8$ (un diédral $D_4$ : les symétries du carré de sommets $1, 2, 3, 4$), n’est pas normal ($(12)(1234)(12) = (2134)$ engendre un sous-groupe de $4$-cycles différent), donc $n_2 = 3$ : les trois copies de $D_4$ correspondent aux trois façons d’apparier $4$ points en un « carré ». Noter la morale du recensement : $\abs{S_4} = 24$ laisse de la place pour que l’un ou l’autre Sylow échoue à la normalité, et les deux échouent — comparer à l’ordre $12$, où le compte force l’un d’eux normal (partie IV du Problème 1.1).