ما معنى زمرة جزئية ناظمية؟

مثال 1.9

خمسة أفعال تدير نظرية الزمر المنتهية بأكملها:

1. فعل $G$ على نفسها عن طريق الانسحاب الأيسر $g \cdot x = gx$: وهو حر ومتعدٍّ.
2. فعل $G$ على نفسها عن طريق الاقتران $g \cdot x = gxg^{-1}$: مداراته هي أصناف الاقتران، ومثبِّتاته هي المُرَكِّزات $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$، ونقطه الصامدة هي مركز الزمرة $Z(G)$.
3. فعل $G$ على فضاء الصفوف المجاورة $G/H$ حسب القاعدة $g \cdot xH = gxH$: وهو متعدٍّ، ومثبِّت الصف $H$ هو $H$ نفسها. وكل فعل متعدٍّ من هذا الشكل (التمرين 1.8).
4. فعل $G$ على مجموعة زمرها الجزئية بالاقتران: مثبِّت $H$ هو الناظِم $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$، وهو أكبر زمرة جزئية من $G$ تكون $H$ ناظمية فيها.
5. فعل $S_n$ على $\intint{1}{n}$: وهو أمّ الأمثلة جميعًا.

مثال 1.22

ليكن $\abs G = pq$ حيث $p < q$ عددان أوليان و $p \nmid q - 1$. عندئذٍ يفرض $n_q \mid p$ و $n_q \equiv 1 \bmod q$ أن $n_q = 1$ (لأن $p < q$)؛ ويفرض $n_p \mid q$ و $n_p \equiv 1 \bmod p$ أن $n_p = 1$ (لأن $q \not\equiv 1 \bmod p$). ولتكن $P$ و $Q$ زمرتَي سيلو الناظميتين: عندئذٍ $P \cap Q = \{e\}$ (لتباين الرتبتين)، ومنه $\abs{PQ} = pq$ (التمرين 1.4) و $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$ حسب القضية 1.24 الآتية. فكل زمرة رتبتها $15$ أو $33$ أو $35$ أو … دائرية. أما الحالة المستثناة $p \mid q - 1$ فتُنتج زمرة واحدة إضافية بالضبط، غير أبيلية — انظر مسألة نهاية الأسبوع (المسألة 1.1).

مثال 1.23 (إحصاء سيلو كاملًا: $S_4$)

لنطبّق الطريقة على $G = S_4$، حيث $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$. سيلو $3$: لدينا $n_3 \mid 8$ و $n_3 \equiv 1 \bmod 3$، ومنه $n_3 \in \{1, 4\}$؛ وبما أن $\langle(123)\rangle$ و $\langle(124)\rangle$ متمايزتان، فإن $n_3 = 4$ — وهي الزمر الجزئية الأربع $\langle(abc)\rangle$، واحدة من أجل كل جزء ثلاثي $\{a, b, c\}$، وهي تستوعب الدورات الثلاثية الثماني. وهي مقترنة حسب سيلو 2، وتشاكل الاقتران $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ تماثلٌ هنا (إذ نواته محتواة في $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ ورتبتها $24/4 = 6$، وكل زمرة جزئية ناظمية من $S_4$ داخل $N$ الشبيهة بالزمرة $S_3$ لا بد أن تكون تافهة: إذ ستتألف من تبديلات زوجية تُثبّت زمر سيلو الأربع، ولا يفعل ذلك سوى $e$). سيلو $2$: لدينا $n_2 \mid 3$ و $n_2 \equiv 1 \bmod 2$: ومنه $n_2 \in \{1, 3\}$. والزمرة الجزئية $D = \langle(1234), (13)\rangle$ رتبتها $8$ (وهي زمرة ثنائية السطوح $D_4$: تناظرات المربع ذي الرؤوس $1, 2, 3, 4$)، وليست ناظمية (إذ يولّد $(12)(1234)(12) = (2134)$ زمرة دورات رباعية مغايرة)، ومنه $n_2 = 3$: فنسخ $D_4$ الثلاث توافق الطرق الثلاث لتزويج $4$ نقط في «مربع». ولاحظ العبرة من هذا الإحصاء: إن $\abs{S_4} = 24$ يترك مجالًا لأيٍّ من زمرتَي سيلو ألّا تكون ناظمية، وكلتاهما كذلك بالفعل — قارن ذلك بالرتبة $12$، حيث يفرض الإحصاء ناظمية إحداهما (الجزء الرابع من المسألة 1.1).