प्रसामान्य उपसमूह क्या है?

उदाहरण 1.9

पाँच क्रियाएँ समूचे परिमित समूह सिद्धांत को चलाती हैं:

1. बायाँ स्थानांतरण $g \cdot x = gx$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर क्रिया: मुक्त और संक्रमणीय।
2. संयुग्मन $g \cdot x = gxg^{-1}$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर क्रिया: कक्षाएँ संयुग्मन वर्ग हैं, स्थायीकारी केंद्रक $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ हैं, और स्थिर बिंदु केंद्र $Z(G)$ हैं।
3. सहसमुच्चय समष्टि $G/H$ पर $g \cdot xH = gxH$ द्वारा $G$ की क्रिया: संक्रमणीय, जिसमें सहसमुच्चय $H$ का स्थायीकारी $H$ है। प्रत्येक संक्रमणीय क्रिया इसी रूप की होती है (अभ्यास 1.8)।
4. संयुग्मन द्वारा $G$ की अपने उपसमूहों के समुच्चय पर क्रिया: $H$ का स्थायीकारी प्रसामान्यक $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ है, अर्थात् $G$ का सबसे बड़ा उपसमूह जिसमें $H$ प्रसामान्य है।
5. $\intint{1}{n}$ पर $S_n$ की क्रिया: सब उदाहरणों की जननी।

उदाहरण 1.22

मान लीजिए $\abs G = pq$ है, जहाँ $p < q$ अभाज्य हैं और $p \nmid q - 1$। तब $n_q \mid p$ और $n_q \equiv 1 \bmod q$ से $n_q = 1$ अनिवार्य हो जाता है (क्योंकि $p < q$); $n_p \mid q$ और $n_p \equiv 1 \bmod p$ से $n_p = 1$ (क्योंकि $q \not\equiv 1 \bmod p$)। मान लीजिए $P, Q$ दोनों प्रसामान्य सिलो उपसमूह हैं: $P \cap Q = \{e\}$ (क्रम सह-अभाज्य हैं), अतः $\abs{PQ} = pq$ (अभ्यास 1.4) और नीचे दी गई प्रतिज्ञप्ति 1.24 से $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$। क्रम $15$, $33$, $35$, … का प्रत्येक समूह चक्रीय है। अपवर्जित स्थिति $p \mid q - 1$ ठीक एक और समूह देती है, जो अनाबेली है — सप्ताहांत समस्या देखिए (समस्या 1.1)।

उदाहरण 1.23 (एक पूर्ण सिलो गणना: $S_4$)

आइए इस विधि को $G = S_4$, $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$ पर चलाएँ। सिलो $3$: $n_3 \mid 8$, $n_3 \equiv 1 \bmod 3$, अतः $n_3 \in \{1, 4\}$; और चूँकि $\langle(123)\rangle$ तथा $\langle(124)\rangle$ भिन्न हैं, $n_3 = 4$ — अर्थात् चार उपसमूह $\langle(abc)\rangle$, प्रत्येक $3$-अवयवी उपसमुच्चय $\{a, b, c\}$ के लिए एक, जो $8$ त्रि-चक्रों का लेखा-जोखा पूरा कर देते हैं। सिलो II से वे संयुग्म हैं, और यहाँ संयुग्मन समाकारिता $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ एक तुल्याकारिता है (उसकी अष्टि क्रम $24/4 = 6$ वाले $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ में अंतर्विष्ट है, और $S_3$ जैसे $N$ के भीतर $S_4$ का प्रसामान्य उपसमूह तुच्छ ही हो सकता है: वह चारों सिलो उपसमूहों को स्थिर रखने वाले सम क्रमचयों से बनता, और ऐसा केवल $e$ करता है)। सिलो $2$: $n_2 \mid 3$, $n_2 \equiv 1 \bmod 2$: $n_2 \in \{1, 3\}$। उपसमूह $D = \langle(1234), (13)\rangle$ का क्रम $8$ है (एक द्विफलकी $D_4$: शीर्षों $1, 2, 3, 4$ वाले वर्ग की सममितियाँ), वह प्रसामान्य नहीं है ($(12)(1234)(12) = (2134)$ एक भिन्न $4$-चक्र उपसमूह जनित करता है), अतः $n_2 = 3$: $D_4$ की तीन प्रतियाँ $4$ बिंदुओं को एक “वर्ग” में युग्मित करने के तीन तरीकों के अनुरूप हैं। इस गणना का सार ध्यान देने योग्य है: $\abs{S_4} = 24$ में दोनों में से किसी भी सिलो उपसमूह के अप्रसामान्य होने की गुंजाइश बची रहती है, और दोनों ही अप्रसामान्य निकलते हैं — इसकी तुलना क्रम $12$ से कीजिए, जहाँ गणना उनमें से एक को प्रसामान्य होने पर विवश कर देती है (समस्या 1.1 का भाग IV)।