Apa itu aksi grup? — Matematika

Definisi 1.8 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 1 — Teori Grup

Sebuah aksi dari $G$ pada himpunan $X$ adalah morfisma $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ ke dalam grup semua bijeksi $X$ ; ditulis $g \cdot x$ untuk $\varphi(g)(x)$ . Secara ekuivalen: pemetaan $G \times X \to X$ dengan $e \cdot x = x$ dan $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ . Adapun orbit dari $x$ adalah $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ , stabilisator miliknya adalah subgrup $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ , dan $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ adalah himpunan titik tetap. Aksi disebut transitif bila orbitnya tepat satu, setia bila $\varphi$ injektif, bebas bila semua stabilisatornya trivial.

Contoh

Contoh 1.9

Lima aksi ini menggerakkan seluruh teori grup berhingga:

$G$ pada dirinya sendiri melalui translasi kiri $g \cdot x = gx$ : bebas dan transitif.
$G$ pada dirinya sendiri melalui konjugasi $g \cdot x = gxg^{-1}$ : orbitnya adalah kelas konjugasi, stabilisatornya sentralisator $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ , titik tetapnya pusat $Z(G)$ .
$G$ pada ruang koset $G/H$ melalui $g \cdot xH = gxH$ : transitif, dan stabilisator koset $H$ adalah $H$ sendiri. Setiap aksi transitif berbentuk demikian (Latihan 1.8).
$G$ pada himpunan subgrupnya melalui konjugasi: stabilisator $H$ adalah normalisator $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ , yakni subgrup terbesar dari $G$ yang di dalamnya $H$ normal.
$S_n$ pada $\intint{1}{n}$ : induk dari segala contoh.

Baca dalam konteks →