Wat is normaaldeler?

Voorbeeld 1.9

Vijf werkingen dragen de hele eindige groepentheorie:

1. $G$ op zichzelf door linkstranslatie $g \cdot x = gx$: vrij en transitief.
2. $G$ op zichzelf door conjugatie $g \cdot x = gxg^{-1}$: de banen zijn de conjugatieklassen, de stabilisatoren de centralisatoren $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$, de vaste punten het centrum $Z(G)$.
3. $G$ op de nevenklassenverzameling $G/H$ door $g \cdot xH = gxH$: transitief, en de stabilisator van de nevenklasse $H$ is $H$ zelf. Elke transitieve werking is van deze vorm (Oefening 1.8).
4. $G$ op de verzameling van haar deelgroepen door conjugatie: de stabilisator van $H$ is de normalisator $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$, de grootste deelgroep van $G$ waarin $H$ normaal is.
5. $S_n$ op $\intint{1}{n}$: de moeder van alle voorbeelden.

Voorbeeld 1.22

Zij $\abs G = pq$ met $p < q$ priem en $p \nmid q - 1$. Dan dwingen $n_q \mid p$ en $n_q \equiv 1 \bmod q$ af dat $n_q = 1$ (want $p < q$); en $n_p \mid q$ en $n_p \equiv 1 \bmod p$ dwingen $n_p = 1$ af (want $q \not\equiv 1 \bmod p$). Zij $P, Q$ de twee normale Sylow-deelgroepen: $P \cap Q = \{e\}$ (onderling ondeelbare ordes), dus $\abs{PQ} = pq$ (Oefening 1.4) en $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$ volgens Propositie 1.24 hieronder. Elke groep van orde $15$, $33$, $35$, … is dus cyclisch. Het uitgesloten geval $p \mid q - 1$ levert precies één groep extra, niet-abels — zie de weekendopgave (Probleem 1.1).

Voorbeeld 1.23 (Een volledige Sylow-telling: $S_4$)

Laten we de methode uitvoeren op $G = S_4$, $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$. Sylow $3$: $n_3 \mid 8$ en $n_3 \equiv 1 \bmod 3$, dus $n_3 \in \{1, 4\}$; omdat $\langle(123)\rangle$ en $\langle(124)\rangle$ verschillen, is $n_3 = 4$ — de vier deelgroepen $\langle(abc)\rangle$, één voor elke driedelige deelverzameling $\{a, b, c\}$, samen goed voor de $8$ drietallige cykels. Volgens Sylow II zijn ze geconjugeerd, en het conjugatiemorfisme $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ is hier een isomorfisme (de kern ligt in $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ van orde $24/4 = 6$, en een normaaldeler van $S_4$ binnen een $N$ van $S_3$-type moet triviaal zijn: ze zou bestaan uit even permutaties die de vier Sylow-deelgroepen vasthouden, en dat doet alleen $e$). Sylow $2$: $n_2 \mid 3$ en $n_2 \equiv 1 \bmod 2$, dus $n_2 \in \{1, 3\}$. De deelgroep $D = \langle(1234), (13)\rangle$ heeft orde $8$ (een diëdergroep $D_4$: de symmetrieën van het vierkant met hoekpunten $1, 2, 3, 4$) en is niet normaal ($(12)(1234)(12) = (2134)$ brengt een andere deelgroep van $4$-cykels voort), dus $n_2 = 3$: de drie kopieën van $D_4$ komen overeen met de drie manieren om $4$ punten tot een “vierkant” te paren. Let op de moraal van deze telling: $\abs{S_4} = 24$ laat beide Sylow-families de ruimte om niet normaal te zijn, en beide benutten die — vergelijk met orde $12$, waar de telling er één van de twee normaal maakt (Deel IV van Probleem 1.1).