Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

64Getaltheorie: delers en priemgetallen

De getaltheorie studeert hele getallen en de manier waarop ze elkaar delen. Haar hoofdrolspelers zijn de priemgetallen, de bouwstenen waaruit elk geheel getal met vermenigvuldigingen wordt samengesteld. Het hoofdstuk eindigt met de grootste gemene deler, het juiste gereedschap om breuken eens en voor altijd te vereenvoudigen. Dit verhaal gaat, veel verder, door in het bovenbouwvolume en daarna.

64.1 Delers en veelvouden

Definitie 64.1 (Deler, veelvoud)

Zij $a$ en $b$ positieve gehele getallen. We zeggen dat $b$ het getal $a$ deelt (of dat $b$ een deler van $a$ is, of dat $a$ een veelvoud van $b$ is) wanneer $a = b \times k$ voor een zeker geheel getal $k$ — dat wil zeggen wanneer de deling van $a$ door $b$ rest $0$ laat.

Voorbeeld 64.2

De delers van $24$ zijn $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — ze komen in paren met product $24$ : $(1,24)$ , $(2,12)$ , $(3,8)$ , $(4,6)$ . De veelvouden van $7$ zijn $7, 14, 21, 28, \dots$

Propositie 64.3 (Deelbaarheidsregels)

Een geheel getal is deelbaar:

door $2$ wanneer zijn laatste cijfer even is ( $0, 2, 4, 6, 8$ );
door $5$ wanneer zijn laatste cijfer $0$ of $5$ is;
door $10$ wanneer zijn laatste cijfer $0$ is;
door $3$ (respectievelijk $9$ ) wanneer de som van zijn cijfers deelbaar is door $3$ (respectievelijk $9$ );
door $4$ wanneer zijn laatste twee cijfers een getal vormen dat deelbaar is door $4$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 64.4

$7\,215$ eindigt op $5$ : deelbaar door $5$ . Zijn cijfersom is $7 + 2 + 1 + 5 = 15$ , deelbaar door $3$ maar niet door $9$ : dus is $7\,215$ deelbaar door $3$ , niet door $9$ . En inderdaad is $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$ .

64.2 Priemgetallen

Definitie 64.5 (Priemgetal)

Een priemgetal is een geheel getal $\geq 2$ waarvan de enige delers $1$ en het getal zelf zijn. De priemgetallen onder $30$ zijn

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

Het getal $1$ is geen priemgetal (per afspraak), en een geheel getal $\geq 2$ dat niet priem is, noem je samengesteld.

Stelling 64.6 (Priemfactorontbinding)

Elk geheel getal $\geq 2$ is een product van priemgetallen, en die ontbinding is op de orde van de factoren na uniek.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Methode 64.7 (Een geheel getal ontbinden)

Deel herhaaldelijk door het kleinst mogelijke priemgetal, tot je bij $1$ uitkomt:

probeer $2$ zolang het getal even is;
probeer daarna $3$ , dan $5$ , dan $7$ , … (alleen priemgetallen);
stop wanneer het quotiënt $1$ is; verzamel de factoren met hun exponenten.

Het is genoeg de priemgetallen $p$ te proberen waarvoor $p^2$ het huidige getal niet overtreft: deelt geen van hen het getal, dan is het getal zelf priem.

Voorbeeld 64.8

Ontbind $360$ , één deling per keer:

360 = 2 \times 180, \quad 180 = 2 \times 90, \quad 90 = 2 \times 45, \quad 45 = 3 \times 15, \quad 15 = 3 \times 5,

en dus

360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5 .

De factorboom van 360: elke stap splitst de kleinste priemfactor af (in rood). Lees je de rode bladeren en de laatste 5, dan staat er 360 = 23 × 32 × 5. — De factorboom van $360$ : elke stap splitst de kleinste priemfactor af (in rood). Lees je de rode bladeren en de laatste $5$ , dan staat er $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

Stelling 64.9 (Euclides)

Er zijn oneindig veel priemgetallen.

Bewijs. Stel dat er maar een eindig aantal zouden zijn, zeg $p_1, p_2, \dots, p_k$ , en bekijk

N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .

$N$ door een willekeurige $p_i$ delen laat rest $1$ , dus deelt geen enkele $p_i$ het getal $N$ . Maar $N \geq 2$ heeft minstens één priemdeler (Stelling 64.6) — een priemgetal dat niet in onze lijst staat. Tegenspraak: geen enkele eindige lijst kan alle priemgetallen bevatten. ∎

64.3 De grootste gemene deler

Definitie 64.10 (ggd)

De grootste gemene deler van twee positieve gehele getallen $a$ en $b$ , geschreven $\gcd(a, b)$ , is het grootste getal dat beide deelt. Wanneer $\gcd(a, b) = 1$ , heten de getallen relatief priem: ze hebben geen enkele deler gemeen behalve $1$ .

Voorbeeld 64.11

Delers van $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Delers van $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . Gemeenschappelijke delers: $1, 2, 3, 6$ ; dus is $\gcd(18, 24) = 6$ . De getallen $15$ en $28$ zijn relatief priem.

Propositie 64.12 (ggd uit de ontbindingen)

De ggd van twee gehele getallen is het product van de priemgetallen die in beide ontbindingen voorkomen, elk genomen met de kleinste van zijn twee exponenten.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 64.13

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ en $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ . Gemeenschappelijke priemgetallen: $2$ (exponenten $3$ en $2$ : houd $2$ ) en $3$ (exponenten $2$ en $1$ : houd $1$ ). Dus is

\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .

Stelling 64.14 (Algoritme van Euclides)

Is $a = bq + r$ de deling van $a$ door $b$ met rest $r$ , dan geldt

\gcd(a, b) = \gcd(b, r).

Herhaal je de delingen tot de rest $0$ is, dan is de ggd van $a$ en $b$ de laatste rest verschillend van nul.

Bewijs. Uit $a = bq + r$ : elk getal dat $b$ en $r$ deelt, deelt ook $bq + r = a$ ; en uit $r = a - bq$ : elk getal dat $a$ en $b$ deelt, deelt ook $r$ . De paren $(a, b)$ en $(b, r)$ hebben dus precies dezelfde gemeenschappelijke delers — en in het bijzonder dezelfde grootste. Omdat de resten strikt dalen, stopt het algoritme, en $\gcd(x, 0) = x$ levert de laatste rest verschillend van nul. ∎

Voorbeeld 64.15

Bereken $\gcd(1071, 462)$ :

\begin{align*} 1071 &= 462 \times 2 + 147, \\ 462 &= 147 \times 3 + 21, \\ 147 &= 21 \times 7 + 0 . \end{align*}

De laatste rest verschillend van nul is $21$ : $\gcd(1071, 462) = 21$ .

Methode 64.16 (Een breuk volledig vereenvoudigen)

Om $\dfrac ab$ in eenvoudigste vorm te schrijven:

bereken $d = \gcd(a, b)$ , bijvoorbeeld met het algoritme van Euclides;
deel teller en noemer door $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ;
de breuk die je zo krijgt is onvereenvoudigbaar: haar teller en noemer zijn relatief priem.

Voorbeeld 64.17

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$ , en $\gcd(22, 51) = 1$ : onvereenvoudigbaar.

64.4 Oefeningen

Oefening 64.1 ★

Noem alle delers van $36$ , van $45$ en van $17$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.1.

Delers van $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ . Delers van $45$ : $1, 3, 5, 9, 15, 45$ . Delers van $17$ : alleen $1$ en $17$ ( $17$ is priem).

Oefening 64.2 ★

Bepaal met de deelbaarheidsregels of $2\,346$ deelbaar is door $2$ , door $3$ , door $4$ , door $5$ en door $9$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.2.

$2\,346$ eindigt op $6$ : deelbaar door $2$ , niet door $5$ . Cijfersom $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ : deelbaar door $3$ , niet door $9$ . Laatste twee cijfers $46$ , en $46 = 4 \times 11 + 2$ is niet deelbaar door $4$ : $2\,346$ is niet deelbaar door $4$ .

Oefening 64.3 ★

Geef de priemfactorontbinding van $72$ , $150$ , $210$ en $121$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.3.

$72 = 2^3 \times 3^2$ ; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ ; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$ ; $121 = 11^2$ .

Oefening 64.4 ★

Is $101$ priem? En $91$ ? En $143$ ? Verantwoord met de stopregel van Methode 64.7.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.4.

$101$ : toets de priemgetallen $p$ met $p^2 \leq 101$ , dat wil zeggen $2, 3, 5, 7$ . Geen van hen deelt $101$ (oneven, cijfersom $2$ , eindigt niet op $0$ of $5$ , en $101 = 7 \times 14 + 3$ ): $101$ is priem.

$91 = 7 \times 13$ : niet priem.

$143 = 11 \times 13$ : niet priem.

Oefening 64.5 ★

Bereken $\gcd(48, 60)$ op twee manieren: door de gemeenschappelijke delers op te noemen, en uit de priemfactorontbindingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.5.

Gemeenschappelijke delers van $48$ en $60$ : de delers van $48$ zijn $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$ ; de delers van $60$ zijn $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ ; de gemeenschappelijke zijn $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , dus is $\gcd(48,60) = 12$ .

Met de ontbinding: $48 = 2^4 \times 3$ en $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ ; gemeenschappelijke priemgetallen met de kleinste exponenten: $2^2 \times 3 = 12$ .

Oefening 64.6 ★★

Bereken met het algoritme van Euclides $\gcd(255, 154)$ , en daarna $\gcd(1053, 325)$ . Schrijf elke deling uit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.6.

$\gcd(255, 154)$ :

\begin{align*} 255 &= 154 \times 1 + 101, \\ 154 &= 101 \times 1 + 53, \\ 101 &= 53 \times 1 + 48, \\ 53 &= 48 \times 1 + 5, \\ 48 &= 5 \times 9 + 3, \\ 5 &= 3 \times 1 + 2, \\ 3 &= 2 \times 1 + 1, \\ 2 &= 1 \times 2 + 0 . \end{align*}

Laatste rest verschillend van nul: $\gcd(255, 154) = 1$ (ze zijn relatief priem).

$\gcd(1053, 325)$ :

\begin{align*} 1053 &= 325 \times 3 + 78, \\ 325 &= 78 \times 4 + 13, \\ 78 &= 13 \times 6 + 0 . \end{align*}

$\gcd(1053, 325) = 13$ .

Oefening 64.7 ★★

Maak de breuk $\dfrac{588}{504}$ onvereenvoudigbaar. (Bereken de ggd met de methode van je keuze, en deel dan.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.7.

Algoritme van Euclides: $588 = 504 \times 1 + 84$ ; $504 = 84 \times 6 + 0$ : $\gcd(588, 504) = 84$ . Dan is

\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},

en dat is onvereenvoudigbaar.

Oefening 64.8 ★★

Een bloemist heeft $84$ rozen en $126$ tulpen en wil er identieke boeketten van maken, met alle bloemen op en zo veel boeketten mogelijk. Hoeveel boeketten kan ze maken, en wat zit er in elk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.8.

Het aantal boeketten moet zowel $84$ als $126$ delen; het grootst mogelijke is $\gcd(84, 126)$ . Ontbindingen: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ , $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ , dus is de ggd $2 \times 3 \times 7 = 42$ . Ze kan $42$ boeketten maken, met in elk $\frac{84}{42} = 2$ rozen en $\frac{126}{42} = 3$ tulpen.

Oefening 64.9 ★★

Twee veerboten vertrekken om 8:00 van dezelfde kade. De ene vaart elke $24$ minuten uit, de andere elke $36$ minuten. Hoe laat vertrekken ze de volgende keer samen? (Zoek het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van $24$ en $36$ ; de ontbindingen helpen.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.9.

We hebben het kleinste gemeenschappelijke veelvoud nodig. $24 = 2^3 \times 3$ en $36 = 2^2 \times 3^2$ ; neem je elk priemgetal met de grootste exponent, dan is $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$ . De veerboten vertrekken de volgende keer samen $72$ minuten na 8:00, om 9:12.

Oefening 64.10 ★★★

Zij $n$ een positief geheel getal.

Toon aan dat $\gcd(n, n+1) = 1$ (opeenvolgende gehele getallen zijn altijd relatief priem).
Leid af dat de breuk $\dfrac{n}{n+1}$ altijd onvereenvoudigbaar is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.10.

1. Elke gemeenschappelijke deler $d$ van $n$ en $n+1$ deelt ook hun verschil $(n+1) - n = 1$ , dus is $d = 1$ : $\gcd(n, n+1) = 1$ .

2. Een breuk is onvereenvoudigbaar precies wanneer haar teller en noemer relatief priem zijn, en dat is volgens deel 1 het geval voor $n$ en $n + 1$ .

64.5 Opgave: waterkannen, cicaden en honderd kluisjes

Probleem 64.1

Weekendopgave — de ggd beslist welke hoeveelheden twee kannen kunnen afmeten; priemgetallen beschermen cicaden; en de kluisjes die open blijven zijn de volkomen kwadraten

Drie puzzels die op raadsels lijken en in werkelijkheid getaltheorie zijn: water afmeten met kannen zonder maatstreep (de ggd in vermomming), levenscycli van insecten die tot priemgetallen zijn geëvolueerd, en een beroemde gang met honderd kluisjes waarvan de eindstand door het tellen van delers wordt beslist. Alles draait op de machinerie van dit hoofdstuk: deelbaarheid, priemfactorontbinding (Stelling 64.6) en het algoritme van Euclides (Stelling 64.14).

Deel I — De waterkannen. Je staat bij een fontein met twee kannen zonder maatstreep, van $5$ L en $3$ L. Toegestane zetten: een kan tot de rand vullen, een kan volledig leegmaken, de ene kan in de andere gieten tot de bron leeg of het doel vol is.

Meet precies $1$ L af. (Beschrijf je reeks zetten en de inhoud van de twee kannen na elke zet.)
Meet precies $4$ L af — de puzzel uit een beroemde actiefilm. (Het kan in zes zetten.)
Welke hele aantallen liter van $1$ tot $8$ kun je voorleggen (in één kan, of verdeeld over de twee)? Vul de lijst aan en hergebruik je reeksen.
Nieuwe kannen: $6$ L en $4$ L. Probeer $1$ L af te meten — en leg daarna uit waarom het hopeloos is: ga na dat elk van de drie toegestane zetten de inhoud van elke kan een veelvoud van $2$ laat, zodat elke bereikbare hoeveelheid even is.
Het argument van vraag 4 werkt in het algemeen: met kannen van $a$ en $b$ liter is elke bereikbare hoeveelheid een veelvoud van $\gcd(a, b)$ . Bereken $\gcd(6, 4)$ en $\gcd(5, 3)$ , en zeg wat de wet voor elk paar kannen voorspelt.

Deel II — Euclides bij de fontein.

Bereken met het algoritme van Euclides: $\gcd(91, 65)$ en $\gcd(2\,026, 46)$ .
Leg in je eigen woorden uit waarom de hoeveelheden die in de kannen opduiken, de resten van Euclides in vermomming zijn: vul met kannen van $13$ L en $5$ L herhaaldelijk de kleine kan en giet die in de grote leeg (en maak de grote kan leeg zodra hij vol is). Welke nieuwe hoeveelheden duiken het eerst op — en vergelijk ze met de resten in het algoritme van Euclides voor $(13, 5)$ .
Leid het antwoord van de kampioen af: kun je met kannen van $13$ en $5$ liter precies $1$ L afmeten? Verantwoord het in één regel met vraag 5 en $\gcd(13, 5)$ .
Een snel bewijs van relatieve priemheid in de stijl van Oefening 64.10: toon aan dat $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ voor elk positief geheel getal $n$ . (Wat moet een gemeenschappelijke deler van $n$ en $2n + 1$ delen?)
Twee bussen vertrekken om 7:00 samen van de eindhalte; de ene rijdt elke $12$ minuten uit, de andere elke $18$ . Noem de volgende vertrektijden van elk en zoek het eerste ogenblik waarop ze weer samen vertrekken. Ga op dit voorbeeld de mooie wet na: (eerste gemeenschappelijke veelvoud) $\times$ ggd $=$ product van de twee getallen — en toets ze nog eens op $5$ en $3$ .

Deel III — Cicaden, delers en kluisjes.

Bepaalde Noord-Amerikaanse cicaden komen slechts elke $17$ jaar boven; stel dat de populatie van een roofdier elke $4$ jaar een piek kent. Gebeuren beide dit jaar, over hoeveel jaar valt een opkomst dan voor het eerst weer samen met een piek? Dezelfde vraag als de cyclus van de cicaden $16$ jaar zou zijn — hoe vaak zouden ze dan afgeslacht worden? Leg in één zin uit waarom de evolutie de cyclus naar een priem lengte duwde.
Tel met de ontbinding $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ de delers van $360$ zonder ze op te noemen: een deler kiest een exponent voor $2$ (vier keuzen: $0, 1, 2, 3$ ), een voor $3$ en een voor $5$ . Hoeveel delers zijn er in totaal?
Toon aan dat in de ontbinding van een volkomen kwadraat $n = m^2$ elk priemgetal een even exponent draagt. Leid af, zonder één vierkantswortel te berekenen, dat $360$ geen volkomen kwadraat is.
Koppel elke deler $d$ van $n$ aan zijn partner $\frac{n}{d}$ (voor $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ , $2 \leftrightarrow 18$ , $3 \leftrightarrow 12$ , $4 \leftrightarrow 9$ , $6 \leftrightarrow 6$ ). Wanneer is een deler zijn eigen partner? Leid het criterium af: $n$ heeft een oneven aantal delers precies dan als $n$ een volkomen kwadraat is. Ga het na op $36$ en op $360$ .
De honderd kluisjes. De kluisjes $1$ tot $100$ zijn in het begin dicht. Leerling $1$ verandert de stand van elk kluisje; leerling $2$ verandert de stand van de kluisjes $2, 4, 6, \dots$ ; leerling $k$ verandert de stand van de veelvouden van $k$ ; en zo verder tot leerling $100$ . Leg uit welke leerlingen kluisje $n$ aanraken, hoeveel keer de stand ervan verandert, en — met vraag 14 — precies welke kluisjes op het einde open staan. Hoeveel staan er open?

Oplossing

Oplossing van Probleem 64.1.

1. Vul de kan van $3$ en giet die in de kan van $5$ (inhoud $0/3 \to 3$ in de grote). Vul de kan van $3$ opnieuw en giet in de kan van $5$ tot die vol is: de grote kan neemt er nog maar $2$ op, zodat er

3 - 2 = 1 \text{ L in de kleine kan blijft.}

Zetten: vul $3$ ; giet $3 \to 5$ ; vul $3$ ; giet $3 \to 5$ .

2. Vul de kan van $5$ ; giet in die van $3$ (er blijft $2$ in de grote); maak die van $3$ leeg; giet de $2$ in die van $3$ ; vul die van $5$ ; giet in die van $3$ tot ze vol is — er gaat $1$ in, zodat er $\mathbf{4}$ L in de grote kan blijft. Zes zetten.

3. Alle: $1$ (vraag 1), $2$ (na twee zetten van vraag 2), $3$ en $5$ (één vulling), $4$ (vraag 2), $6 = 3 + 3$ (een volle kleine kan plus $3$ in de grote gegoten), $7 = 5 + 2$ , $8 = 5 + 3$ (beide vol). Elke hele hoeveelheid van $1$ tot $8$ L is met de kan van $5$ en die van $3$ af te meten.

4. Bij het begin bevatten beide kannen $0$ , een veelvoud van $2$ . Vullen zet een inhoud op $6$ of $4$ : even. Leegmaken zet ze op $0$ : even. Gieten verplaatst wat water tussen kannen waarvan de inhoud even was, en de gegoten hoeveelheid is een verschil van even getallen (de overblijvende ruimte, of de beschikbare hoeveelheid): alle inhouden blijven dus eeuwig even. Een oneven doel zoals $1$ L is onbereikbaar.

5. $\gcd(6, 4) = 2$ : alleen even hoeveelheden — bevestigd door vraag 4. $\gcd(5, 3) = 1$ : de wet laat elke hele hoeveelheid toe, en vraag 3 heeft ze alle verwezenlijkt. De ggd is precies de maateenheid van de kannen.

6. $91 = 1 \times 65 + 26$ ; $65 = 2 \times 26 + 13$ ; $26 = 2 \times 13 + 0$ : $\gcd(91, 65) = 13$ . En $2\,026 = 44 \times 46 + 2$ ; $46 = 23 \times 2 + 0$ : $\gcd(2\,026, 46) = 2$ .

7. Herhaaldelijk $5$ in de kan van $13$ gieten: na twee vullingen bevat de grote kan $10$ ; van de derde vulling gaat er maar $3$ in, zodat er $5 - 3 = 2$ in de kleine kan blijft — de rest van $13$ bij deling door $5$ was $3$ , en de hoeveelheden $3$ (de ruimte) en $2$ (wat overblijft) zijn precies de getallen van Euclides ( $13 = 2 \times 5 + 3$ , $5 = 1 \times 3 + 2$ ). Ga je door, dan duikt $3 - 2 = 1$ op: de volgende rest van het algoritme. De fontein voert de delingen van Euclides met water uit.

8. $\gcd(13, 5) = 1$ , dus laat de wet van vraag 5 elke hele hoeveelheid toe — en de cascade van vraag 7 bracht $1$ L werkelijk voort. Ja.

9. Een gemeenschappelijke deler van $n$ en $2n + 1$ deelt $2n + 1 - 2 \times n = 1$ : hij moet $1$ zijn. Bijgevolg is $\gcd(n, 2n+1) = 1$ , altijd.

10. Bus A: 7:12, 7:24, 7:36, 7:48, 8:00 …; bus B: 7:18, 7:36, 7:54 … Eerste gemeenschappelijke vertrek: 7:36, na $36$ minuten — het eerste gemeenschappelijke veelvoud van $12$ en $18$ . De wet: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times 18$ . Voor $5$ en $3$ : eerste gemeenschappelijke veelvoud $15$ , en $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$ .

11. Met een cyclus van $17$ jaar: de volgende samenloop is het eerste gemeenschappelijke veelvoud van $17$ en $4$ ; omdat $\gcd(17, 4) = 1$ , is dat $17 \times 4 = 68$ jaar — de cicaden ontmoeten de piek één keer op vier opkomsten. Met een cyclus van $16$ jaar: $16$ is een veelvoud van $4$ , dus treft elke opkomst een piek. Een priemlengte van de cyclus heeft met geen enkele kortere cyclus van een roofdier een factor gemeen, en drijft de samenlopen zo ver mogelijk uit elkaar: getaltheorie als camouflage.

12. Vier keuzen van exponent voor $2$ , drie voor $3$ , twee voor $5$ : $4 \times 3 \times 2 = 24$ delers.

13. Is $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$ , dan is $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$ : elke exponent is verdubbeld, en dus even. In $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ zijn de exponenten van $2$ en van $5$ oneven: $360$ is geen volkomen kwadraat.

14. Een deler is zijn eigen partner precies wanneer $d = \frac nd$ , dat wil zeggen $n = d^2$ : alleen kwadraten hebben zo’n middelste deler. Voor alle andere $n$ vallen de delers in paren uiteen, een even aantal. Dus: oneven aantal delers $\Leftrightarrow$ volkomen kwadraat. Controle: $36$ heeft de delers $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — negen ervan, oneven, en $36 = 6^2$ ; terwijl $360$ er $24$ heeft (vraag 12), even, en geen kwadraat is (vraag 13).

15. De stand van kluisje $n$ wordt één keer veranderd door elke leerling $k$ wiens nummer $n$ deelt: in totaal dus even veel keer als $n$ delers heeft. Een kluisje eindigt open wanneer zijn stand een oneven aantal keer is veranderd — volgens vraag 14 precies wanneer $n$ een volkomen kwadraat is. De open kluisjes: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — tien ervan.