Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

16Funções holomorfas

A derivabilidade complexa parece uma pequena variação da teoria real — um limite, um quociente. É, em vez disso, outro universo. Uma função derivável uma única vez em um aberto de $\C$ é automaticamente infinitamente derivável, analítica, determinada em todo um domínio por seus valores perto de um único ponto e restringida por princípios globais rígidos (Liouville, módulo máximo). Tudo isso decorre de um milagre, o teorema de Cauchy: a integral de uma função holomorfa ao longo de um caminho fechado em um domínio estrelado se anula. Este capítulo demonstra o milagre (argumento de Goursat, sem supor regularidade além da derivabilidade), colhe suas consequências clássicas e liquida um teorema que este livro usa a crédito desde o Capítulo 4: todo polinômio complexo não constante tem raiz.

Ao longo de todo o capítulo, $\Omega \subseteq \C$ é aberto, e $D(a, r)$ denota o disco aberto.

16.1 Derivabilidade complexa

Definição 16.1

$f \colon \Omega \to \C$ é holomorfa em $\Omega$ se, para todo $z_0 \in \Omega$ ,

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

existe ( $h \in \C^*$ ). Somas, produtos, quocientes (com denominadores não nulos) e composições de funções holomorfas são holomorfos, com as fórmulas usuais (as demonstrações do primeiro e do segundo ano valem literalmente: elas só usam as operações de corpo e limites). $\mathcal H(\Omega)$ denota o conjunto das funções holomorfas em $\Omega$ .

Proposição 16.2 (Cauchy–Riemann)

Escreva $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ . Então $f$ é holomorfa em $z_0$ se, e somente se, $f$ é $\R$ -derivável em $z_0$ (como aplicação de duas variáveis reais) e

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{em } z_0 ;

equivalentemente, a diferencial real é a multiplicação pelo número complexo $f'(z_0)$ .

Demonstração. A $\C$ -derivabilidade diz que $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ com $c = f'(z_0)$ : uma diferencial $\R$ -linear que é a multiplicação por $c = a + \iu b$ , isto é, que tem matriz $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ na base $(1, \iu)$ — exatamente as relações exibidas para as parciais. Reciprocamente, uma tal diferencial é $\C$ -linear, e as definições de $o(\abs h)$ coincidem. ∎

Exemplo 16.3

Os polinômios em $z$ , as funções racionais fora de seus polos e — pelo teorema de derivação termo a termo para séries de potências do segundo ano, cuja demonstração funciona identicamente sobre $\C$ — toda soma de uma série de potências $\sum a_n(z - a)^n$ dentro de seu disco de convergência: holomorfos, com derivada $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (mesmo raio). Em particular, $\exp z = \sum z^n/n!$ é inteira (holomorfa em $\C$ ) com $\exp' = \exp$ . Por outro lado, $z \mapsto \bar z$ , $\abs z$ e $\operatorname{Re}z$ não são holomorfas em parte alguma (Cauchy–Riemann falha em todo ponto): a holomorfia é uma rigidez de preservação de ângulos e de orientação, não uma regularidade.

16.2 Integrais de contorno

Definição 16.4

Um caminho é uma aplicação $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ de classe $\mathcal C^1$ por partes; ele é fechado se $\gamma(a) = \gamma(b)$ . Para $f$ contínua na imagem de $\gamma$ :

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(a desigualdade ML; comprimento $= \int_a^b\abs{\gamma'}$ ). A integral é invariante por reparametrização $\mathcal C^1$ crescente e muda de sinal na inversão de orientação.

Proposição 16.5 (Primitivas)

Para $f$ contínua em $\Omega$ , são equivalentes: (i) $f$ tem uma primitiva $F \in \mathcal H(\Omega)$ ( $F' = f$ ); (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ para todo caminho fechado $\gamma$ em $\Omega$ . Nesse caso, $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ para todo caminho.

Demonstração. (i) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (regra da cadeia, válida por partes), de modo que a integral telescopa até a diferença nas extremidades; caminhos fechados dão $0$ . (ii) $\Rightarrow$ (i): fixe $z_*$ em uma componente conexa e defina $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ ao longo de um caminho qualquer de $z_*$ a $z$ (bem definida: dois caminhos diferem por um caminho fechado); para $h$ pequeno, tomando o segmento de $z$ a $z + h$ ,

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

pela desigualdade ML e pela continuidade de $f$ em $z$ . ∎

Definição 16.6 (Índice de rotação)

Para um caminho fechado $\gamma$ e $z \notin \operatorname{im}\gamma$ , o índice é

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

Ele é um inteiro: pondo $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ , a função $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ tem derivada nula (por partes), logo é constante; em $t = b$ , $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , de modo que $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ . Como função de $z$ , o índice é contínuo em $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergência dominada), logo constante em cada componente conexa, e vale $0$ na componente ilimitada (ML: a integral tende a $0$ quando $z \to \infty$ ). Para o círculo $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ para $z \in D(a,r)$ (calcule em $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; a constância faz o resto).

16.3 O teorema de Cauchy

Teorema 16.7 (Goursat)

Sejam $f \in \mathcal H(\Omega)$ e $T \subseteq \Omega$ um triângulo sólido fechado. Então $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (a fronteira percorrida uma vez, em qualquer orientação).

Demonstração. Seja $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ . Ligando os pontos médios dos lados, $T$ se reparte em quatro triângulos de tamanho metade $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ , e as arestas internas se cancelam aos pares: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ . Escolha entre eles um $T_1$ com $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ , e itere: uma sequência encaixada $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ com

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

A interseção $\bigcap T_n$ é um único ponto $z_0$ (compactos encaixados de diâmetros que tendem a zero, Teorema 6.13(3)). Derivabilidade em $z_0$ : dado $\varepsilon$ , para $n$ grande, em $T_n$ ,

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

A parte afim tem primitiva: sua integral no fechado $\partial T_n$ se anula (Proposição 16.5), restando

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

Comparando com $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ : $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{const}$ para todo $\varepsilon$ : $I(T) = 0$ . ∎

Teorema 16.8 (Teorema de Cauchy, versão estrelada)

Seja $\Omega$ estrelado em relação a $c$ (todo segmento $[c, z]$ , $z \in \Omega$ , está em $\Omega$ ) — por exemplo, convexo. Toda $f \in \mathcal H(\Omega)$ tem primitiva em $\Omega$ ; consequentemente, $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ para todo caminho fechado $\gamma$ em $\Omega$ .

Demonstração. Defina $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ . Para $z, z + h \in \Omega$ com $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (o que vale para $h$ pequeno), o triângulo de vértices $c, z, z+h$ está em $\Omega$ (por ser estrelado: cada um de seus pontos está em um segmento $[c, w]$ com $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ ): Goursat dá

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

e o cálculo com quocientes de diferenças da Proposição 16.5 fornece $F' = f$ . O anulamento das integrais em caminhos fechados decorre da mesma proposição. ∎

Teorema 16.9 (Fórmula integral de Cauchy)

Sejam $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ e $C_r$ o círculo $\partial D(a,r)$ percorrido uma vez no sentido anti-horário. Então, para todo $z \in D(a, r)$ :

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

Demonstração. Fixe $z$ e defina em $\Omega$

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

$g$ é contínua em $\Omega$ e holomorfa fora de $z$ . Goursat vale para $g$ em todo triângulo $T \subseteq \Omega'$ , em que $\Omega'$ é um disco ligeiramente maior do que $\bar D(a,r)$ contido em $\Omega$ : se $z \notin T$ , diretamente; se $z \in T$ , reparta $T$ em pequenos triângulos que têm $z$ por vértice mais triângulos que evitam $z$ ; em um triângulo de vértice $z$ , a cota ML dá $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ à medida que o triângulo encolhe, e as demais peças se anulam por Goursat — logo $\int_{\partial T}g = 0$ em todos os casos. A demonstração do Teorema 16.8 usou apenas essa propriedade triangular: $g$ tem primitiva no convexo $\Omega'$ , de modo que $\int_{C_r}g = 0$ , isto é,

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 A analiticidade e sua cascata

Teorema 16.10 (Holomorfa $=$ analítica)

Sejam $f \in \mathcal H(\Omega)$ e $D(a, R) \subseteq \Omega$ . Então

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{em } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

sendo os coeficientes independentes de $r$ . Consequentemente, $f$ é infinitamente $\C$ -derivável, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ , e valem as estimativas de Cauchy:

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

Demonstração. Para $\abs{z - a} < r$ : expanda o núcleo de Cauchy na série geométrica

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

normalmente convergente em $w$ sobre $C_r$ ( $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ): integre termo a termo contra $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (a convergência uniforme justifica a troca) e aplique o Teorema 16.9. Uma série de potências é infinitamente derivável com $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (segundo ano), o que também mostra que os $c_n$ não dependem de $r$ . As estimativas: limite a integral do coeficiente por ML. ∎

Exemplo 16.11 (As singularidades ditam os raios)

Por que a inocente função real $\frac1{1 + x^2}$ tem, em $x = 3$ , uma série de Taylor que converge apenas para $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ , se nada dá errado sobre a reta real? Porque o teorema acima faz o raio de convergência em $a$ ser igual à distância de $a$ ao ponto mais próximo em que a holomorfia falha. Aqui, $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ é holomorfa exatamente em $\C\setminus\{\pm\iu\}$ , de modo que a expansão em $a = 3$ converge no maior disco que evita $\pm\iu$ , de raio $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — e não pode convergir em um maior, pois a soma estenderia $f$ holomorficamente a uma vizinhança de $\pm\iu$ , onde $\abs f \to \infty$ . A teoria real vê o misterioso raio $\sqrt{10}$ ; o plano complexo vê dois polos. Eis a regra prática: para achar um raio de convergência, localize as singularidades — por exemplo, a série de Taylor de $\tan$ em $0$ tem raio $\frac\pi2$ (os zeros mais próximos de $\cos$ ), e a função geradora de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (Problema 16.1, Parte VI) tem raio $2\pi$ (os zeros não nulos mais próximos de $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$ ).

Corolário 16.12 (Liouville; d’Alembert–Gauss)

Uma função inteira limitada é constante. Consequentemente, todo polinômio não constante sobre $\C$ tem raiz: $\C$ é algebricamente fechado.

Demonstração. Se $\abs f \leq M$ em $\C$ : para todos $a$ e $r$ , $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : $f' \equiv 0$ , e $f$ é constante (no conexo $\C$ : derivada nula implica localmente constante — integre ao longo de segmentos). Se $P$ não tivesse raiz, $1/P$ seria inteira e limitada ( $\abs{P(z)} \to \infty$ quando $\abs z \to \infty$ : o termo líder domina, de modo que $\abs{1/P}$ é pequeno fora de um disco grande, e a função é contínua no disco compacto): seria constante — absurdo para $P$ não constante. (O problema de fim de semana dá uma segunda demonstração, elementar, e as consequências algébricas.) ∎

Teorema 16.13 (Os zeros são isolados; teorema da identidade)

Sejam $\Omega$ conexo e $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $f \not\equiv 0$ . Então todo zero $a$ de $f$ tem ordem finita: $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ com $g \in \mathcal H(\Omega)$ , $g(a) \neq 0$ , e os zeros de $f$ não têm ponto de acumulação em $\Omega$ . Consequentemente, se duas funções holomorfas em $\Omega$ coincidem em um conjunto com ponto de acumulação em $\Omega$ , elas coincidem em toda parte.

Demonstração. Seja $Z$ o conjunto dos pontos em que todas as derivadas de $f$ se anulam. $Z$ é fechado (interseção de fechados) e aberto: se todas as $c_n = 0$ se anulam em $a$ , a expansão em série de potências faz $f \equiv 0$ em um disco em torno de $a$ . Conexidade: $Z = \varnothing$ ou $Z = \Omega$ ; o segundo caso está excluído por $f \not\equiv 0$ . Assim, em um zero $a$ , algum coeficiente é não nulo: seja $m$ mínimo com $c_m \neq 0$ ; então $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ em um disco, e a soma define $g$ holomorfa perto de $a$ com $g(a) = c_m \neq 0$ ; estenda $g = f/(z-a)^m$ fora de $a$ (ali é holomorfa). Como $g(a) \neq 0$ e $g$ é contínua, $f$ não tem outro zero em uma vizinhança de $a$ : os zeros são isolados, e um conjunto de pontos isolados não tem ponto de acumulação em $\Omega$ (um ponto de acumulação de zeros é zero — continuidade — e não seria isolado). Identidade: aplique à diferença, cujo conjunto de zeros tem ponto de acumulação, o que a força no ramo $Z = \Omega$ . ∎

Teorema 16.14 (Valor médio e módulo máximo)

Seja $f \in \mathcal H(\Omega)$ .

(Valor médio) Para $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ .
(Princípio do máximo) Se $\Omega$ é conexo e $\abs f$ atinge um máximo local em algum ponto de $\Omega$ , então $f$ é constante. Consequentemente, para $\Omega$ limitado e $f$ contínua em $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ .

Demonstração. (1) é a fórmula de Cauchy no centro: parametrize $C_r$ . (2) Digamos $\abs f \leq \abs{f(a)}$ em $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ . Se $f(a) = 0$ , $f \equiv 0$ perto de $a$ . Caso contrário, para $0 < r \leq \rho$ , o valor médio dá

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

o integrando contínuo e não negativo $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ tem média nula, logo se anula: $\abs f$ é constante $= \abs{f(a)} \ne 0$ no disco. Uma função holomorfa de módulo constante não nulo em um disco é constante: derivar $P^2 + Q^2 = \text{const}$ dá $PP_x + QQ_x = 0$ e $PP_y + QQ_y = 0$ ; substituindo as relações de Cauchy–Riemann $P_y = -Q_x$ , $Q_y = P_x$ na segunda equação, obtém-se o sistema linear

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

cujo determinante é $P^2 + Q^2 \neq 0$ : $P_x = Q_x = 0$ , de modo que $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ no disco: $f$ é ali constante. O teorema da identidade espalha a constância a todo $\Omega$ . A forma com fronteira: $\abs f$ atinge seu supremo no compacto $\bar\Omega$ ; um máximo interior torna $f$ constante, e o supremo é atingido na fronteira em todos os casos. ∎

Teorema 16.15 (Teorema de convergência de Weierstrass)

Se $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ convergem para $f$ uniformemente em todo compacto de $\Omega$ , então $f \in \mathcal H(\Omega)$ e $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente nos compactos, para todo $k$ .

Demonstração. $f$ é contínua. Para todo triângulo fechado $T \subseteq \Omega$ : $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (convergência uniforme no compacto $\partial T$ ; Goursat para $f_n$ ). Pelo argumento do Teorema 16.8, $f$ tem primitivas locais (os discos são convexos; só a propriedade triangular foi usada), isto é, $f = F'$ localmente com $F$ holomorfa; $F$ é analítica (Teorema 16.10), logo $f = F'$ também: é holomorfa. (Esse é o teorema de Morera: contínua com integrais triangulares nulas implica holomorfa.) Derivadas: para $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ e $z \in \bar D(a, r)$ , a fórmula de Cauchy para as derivadas (derive o Teorema 16.9 sob a integral, ou use a fórmula dos coeficientes) dá

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

uniformemente em $\bar D(a,r)$ ; cubra um compacto por um número finito de tais discos e itere para $k$ maiores. ∎

A fórmula de Cauchy: os valores de uma função holomorfa dentro de um disco são uma média ponderada de seus valores no círculo que o delimita. Tudo o que há de rígido na holomorfia — analiticidade, Liouville, princípio do máximo — desdobra-se dessa única identidade. — A fórmula de Cauchy: os valores de uma função holomorfa *dentro* de um disco são uma média ponderada de seus valores no círculo que o delimita. Tudo o que há de rígido na holomorfia — analiticidade, Liouville, princípio do máximo — desdobra-se dessa única identidade.

Método 16.16

A caixa de ferramentas do dia a dia. Para demonstrar que uma função é holomorfa: exiba-a como série de potências, como composição, como limite localmente uniforme (Teorema 16.15) ou como integral com parâmetro holomorfo (Exercício 16.7 — derive sob $\int$ ou aplique Morera–Fubini). Para demonstrar identidades: demonstre-as em um segmento ou subdomínio e invoque o teorema da identidade. Para limitar: estimativas de Cauchy no maior círculo disponível. Para demonstrar constância ou inexistência: Liouville ou o princípio do máximo. Saiba sempre onde sua função é holomorfa e quais discos cabem em $\Omega$ .

16.5 Exercícios

Exercício 16.1 ★

(a) Em que pontos $z \mapsto \bar z$ , $\abs z^2$ , $\operatorname{Re}z$ são complexo-deriváveis? E holomorfas em um aberto? (b) Mostre que $P(x, y) = x^2 - y^2$ é a parte real de uma função holomorfa em $\C$ , encontrada explicitamente, e determine todas elas.

Solução

Solução de Exercício 16.1.

(a) $\bar z$ : $P = x$ , $Q = -y$ , de modo que $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : não é $\C$ -derivável em ponto algum. $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ , $Q = 0$ : Cauchy–Riemann exige $2x = 0 = 2y$ : derivável em $0$ apenas — e holomorfa em parte alguma (nenhum aberto). $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : em parte alguma.

(b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ serve. Todas as soluções: se $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ com $f, g$ holomorfas no conexo $\C$ , então $h = f - g$ tem $\operatorname{Re}h = 0$ ; Cauchy–Riemann dá $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : $h$ é uma constante imaginária. Resposta: $f(z) = z^2 + \iu c$ , $c \in \R$ .

Exercício 16.2 ★

Calcule a partir das definições: $\int_{C}z^n\,\dd z$ para todo $n \in \Z$ , com $C$ o círculo unitário; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ ao longo do segmento $[0, 1+\iu]$ e ao longo do caminho de dois segmentos que passa por $1$ : conclua que $\bar z$ não tem primitiva em nenhuma vizinhança desses caminhos.

Solução

Solução de Exercício 16.2.

No círculo unitário $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ :

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

Para $\bar z$ : ao longo de $[0, 1+\iu]$ , $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ . Ao longo de $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ . Valores diferentes entre os mesmos extremos: pela Proposição 16.5, $\bar z$ não tem primitiva em aberto algum que contenha os dois caminhos.

Exercício 16.3 ★★

(a) Mostre que o logaritmo principal $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) é holomorfo em $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ com derivada $\frac1z$ (primitiva de $\frac1z$ no plano cortado, que é estrelado: Teorema 16.8; determine a constante). (b) Mostre que não existe logaritmo contínuo em $\C^*$ (a obstrução sem derivadas: o índice do círculo unitário). (c) Expanda $\log(1 + z)$ em série de potências em $D(0,1)$ .

Solução

Solução de Exercício 16.3.

(a) O plano cortado $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ é estrelado em relação a $1$ , e $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : o Teorema 16.8 fornece uma primitiva $L$ com $L(1) = 0$ . Então $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : $z = c\,\eu^{L(z)}$ com $c = 1$ (em $z = 1$ ). Escrevendo $L = u + \iu v$ : $\abs z = \eu^u$ e $z = \abs z\eu^{\iu v}$ com $v$ contínua, $v(1) = 0$ , $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ( $v$ é um argumento contínuo de $z$ no conexo $\Omega$ , de modo que sua imagem evita os múltiplos ímpares de $\pi$ — nenhum ponto de $\Omega$ está em $\R_-$ — e, contendo $v(1) = 0$ , permanece em $\intoo{-\pi}\pi$ : $v$ é o argumento principal): $L = \log$ .

(b) Se $g$ fosse um logaritmo contínuo em $\C^*$ : $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ satisfaz $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ , de modo que $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ e, por continuidade, $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ para um inteiro fixo $k$ . Então $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ e $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : contradição.

(c) Em $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — ambos os membros se anulam em $0$ e têm derivada $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (Exemplo 16.3); uma primitiva é única a menos de constante no disco conexo.

Exercício 16.4 ★★

(a) Seja $f$ inteira com $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ . Mostre que $f$ é um polinômio de grau $\leq n$ (estimativas de Cauchy em círculos grandes). (b) Seja $f$ inteira com $\operatorname{Re}f$ limitada superiormente. Mostre que $f$ é constante (considere $\eu^{f}$ ). (c) Deduza o “pequeno Picard para aplicações afins”: uma função inteira que omite um semiplano é constante.

Solução

Solução de Exercício 16.4.

(a) Expanda em $0$ (raio $\infty$ ): pelas estimativas de Cauchy em $C_r$ , $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ quando $r \to \infty$ para $k > n$ : $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ .

(b) Se $\operatorname{Re}f \leq M$ : $g = \eu^f$ é inteira com $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante por Liouville. Então $g' = f'g = 0$ com $g$ não nula: $f' = 0$ , e $f$ é constante.

(c) Se $f$ omite o semiplano $H$ , uma aplicação afim $w \mapsto \alpha w + \beta$ leva $\C\setminus H$ em $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ; aplique (b) a $\alpha f + \beta$ .

Exercício 16.5 ★★

(a) Seja $f$ holomorfa em um conexo $\Omega \ni 0$ com $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ para todo $n$ grande. Determine $f$ . (b) Existe alguma $f$ holomorfa em $\C^*$ com $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ para todo $n \geq 1$ ? Justifique. (c) Exiba duas funções holomorfas distintas em $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ que coincidem em $D(0,1)$ : onde o teorema da identidade usa a conexidade?

Solução

Solução de Exercício 16.5.

(a) $g(z) = f(z) - z^2$ se anula nos pontos $\frac1n$ , que se acumulam em $0 \in \Omega$ : pelo teorema da identidade ( $\Omega$ conexo), $g \equiv 0$ : $f(z) = z^2$ .

(b) Sim: $f(z) = z\cos(\pi/z)$ é holomorfa em $\C^*$ (composição) e $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ . Nenhuma contradição com (a): o ponto de acumulação $0$ dos nós de interpolação não pertence a $\C^*$ , de modo que o teorema da identidade nada diz — duas funções distintas ( $z\cos(\pi/z)$ e, digamos, a que vem de outra interpolação) podem partilhar esses valores.

(c) $f \equiv 0$ em toda parte, contra $g = 0$ em $D(0,1)$ e $g = 1$ em $D(3,1)$ : holomorfa na união desconexa, iguais em $D(0,1)$ , diferentes. O argumento de aberto-fechado do teorema da identidade precisa da conexidade para propagar de uma componente à outra — e não pode.

Exercício 16.6 ★★

Seja $f$ holomorfa no disco unitário aberto $\mathbb D$ , contínua em $\bar{\mathbb D}$ , com $\abs f \equiv 1$ no círculo de fronteira. (a) Se $f$ não tem zero em $\mathbb D$ , mostre que $f$ é constante (aplique o princípio do máximo a $f$ e a $1/f$ ). (b) Dê um exemplo com um zero em que $f$ não é constante.

Solução

Solução de Exercício 16.6.

(a) Pelo princípio do máximo aplicado no domínio limitado: $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ . Como $f$ não tem zeros, $1/f$ é holomorfa em $\mathbb D$ , contínua no fecho, com módulo $1$ no bordo: do mesmo modo, $\abs{1/f} \leq 1$ , isto é, $\abs f \geq 1$ . Logo $\abs f \equiv 1$ : o módulo atinge um máximo interior, e o Teorema 16.14(2) força $f$ constante.

(b) $f(z) = z$ : módulo $1$ no bordo, zero na origem, não constante — o zero é exatamente o que bloqueia o argumento com $1/f$ .

Exercício 16.7 ★★

(Holomorfia sob a integral) Sejam $\mu$ uma medida finita em um espaço $X$ e $g \colon X\times\Omega \to \C$ com: $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ para cada $x$ , $g$ mensurável em $x$ , e $\abs g \leq h(x)$ com $h$ integrável, localmente uniformemente em $z$ . Mostre que $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ é holomorfa em $\Omega$ . (Morera: as integrais triangulares se anulam por Fubini e Goursat; a continuidade, por convergência dominada. Aplique em seguida a $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ em $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ .)

Solução

Solução de Exercício 16.7.

Continuidade de $G$ : convergência dominada com dominante $h$ (cota localmente uniforme). Holomorfia por Morera (estabelecido dentro do Teorema 16.15): para um triângulo fechado $T$ num disco em que $\abs g \leq h$ ,

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

a troca por Fubini ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) e a anulação interna por Goursat. Para $\Gamma$ : na faixa $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ( $0 < a \leq b$ ), $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ , integrável em $\intoo0{+\infty}$ : $\Gamma$ é holomorfa em $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (a medida é apenas $\sigma$ -finita, mas o argumento só precisa do dominante integrável). Pelo teorema da identidade, a equação funcional $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ , demonstrada em $\intoo0{+\infty}$ (Exemplo 10.16), vale em todo o semiplano.

Exercício 16.8 ★★★

(Gauss–Lucas) Seja $P \in \C[X]$ não constante. Mostre que toda raiz de $P'$ está na envoltória convexa das raízes de $P$ . (Escreva $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ em uma raiz $z$ de $P'$ que não seja raiz de $P$ , tome conjugados e leia uma combinação convexa.) Ilustre em $P = z^3 - 1$ .

Solução

Solução de Exercício 16.8.

Escreva $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (Problema 16.1). Seja $P'(z) = 0$ . Se $P(z) = 0$ , então $z$ é um dos $a_k$ : está na envoltória. Caso contrário, a derivada logarítmica dá

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

conjugando, $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ com $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ , uma combinação convexa das raízes. Para $P = z^3 - 1$ : raízes as raízes cúbicas da unidade, $P' = 3z^2$ com raiz dupla $0$ — o baricentro do triângulo equilátero.

Exercício 16.9 ★★★

Seja $f$ inteira e duplamente periódica: $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$ . Mostre que $f$ é constante. (Limite $f$ no quadrado fundamental compacto e, depois, em toda parte; Liouville.) Moral: as funções elípticas não constantes têm de ter polos — o tema do Capítulo 17.

Solução

Solução de Exercício 16.9.

O quadrado unitário fechado $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ é compacto: $M = \sup_K\abs f < \infty$ . Todo $z \in \C$ difere de um ponto de $K$ por um elemento de $\Z + \iu\Z$ (subtraia as partes inteiras), e $f$ é invariante por essas translações (itere as duas relações): $\abs f \leq M$ em $\C$ . Liouville: $f$ é constante. Logo, toda função meromorfa duplamente periódica não constante — as funções elípticas da teoria clássica — precisa ter polos.

Exercício 16.10 ★★

(a) Mostre que $P = \operatorname{Re}f$ , para $f$ holomorfa, satisfaz a propriedade do valor médio $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ e é harmônica: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (derive Cauchy–Riemann; use o Teorema 16.10 para a regularidade necessária). (b) Deduza o princípio do máximo para partes reais de funções holomorfas em domínios limitados.

Solução

Solução de Exercício 16.10.

(a) Tome as partes reais na fórmula da média (Teorema 16.14(1)). Regularidade: $f$ é analítica, de modo que $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; derivando Cauchy–Riemann: $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (simetria de Schwarz das derivadas segundas): $\Delta P = 0$ .

(b) Se $\operatorname{Re}f$ atingisse um máximo interior num $\Omega$ conexo: $g = \eu^f$ tem $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ atingindo um máximo interior, de modo que $g$ , e portanto $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ , é constante (Teorema 16.14(2)). Num domínio limitado com continuidade até o bordo, $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ .

Exercício 16.11 ★★★

(Reflexão de Schwarz) Sejam $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ , $I = \intoo{-1}1$ e $f$ holomorfa em $\Omega^+$ , contínua em $\Omega^+\cup I$ e a valores reais em $I$ . Defina

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(a) Mostre que $F$ está bem definida e é contínua em $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ e holomorfa em $\Omega^\pm$ (para $\Omega^-$ : verifique Cauchy–Riemann para $\overline{f(\bar z)}$ , ou expanda $f$ em séries de potências locais e conjugue os coeficientes). (b) Mostre que $F$ é holomorfa em todo $\Omega$ pelo critério de Morera: $\int_{\partial T}F = 0$ para todo triângulo $T \subseteq \Omega$ (reparta os triângulos em $I$ e empurre seus lados horizontais para fora do eixo por $\varepsilon$ , usando a continuidade uniforme). (c) Deduza: uma função holomorfa no disco, real sobre um diâmetro, satisfaz $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ; e uma função holomorfa não constante não pode ser a valores reais em nenhum aberto não vazio de seu domínio (conexo).

Solução

Solução de Exercício 16.11.

(a) As duas fórmulas coincidem em $I$ ( $z = \bar z$ e $f$ real ali: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ ), e $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ é contínua em $\Omega^-\cup I$ como composição de aplicações contínuas: $F$ é contínua em $\Omega$ . Holomorfia em $\Omega^-$ : perto de $z_0 \in \Omega^-$ , expanda $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ perto de $\bar z_0 \in \Omega^+$ ; então

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

uma série de potências convergente: holomorfa.

(b) Os triângulos que evitam $I$ são tratados por Goursat em $\Omega^\pm$ . Para um triângulo que encontra $I$ , corte-o pelo eixo real em, no máximo, três triângulos/quadriláteros, cada um com um lado em $I$ ; para uma tal peça $P$ contida, digamos, em $\overline{\Omega^+}$ , a integral de contorno é o limite, quando $\varepsilon \to 0^+$ , da integral sobre os transladados do tipo $P + \iu \varepsilon$ (a continuidade uniforme de $F$ na peça compacta faz as integrais de bordo convergirem, sendo o lado em $I$ abordado por cima), e cada transladado está em $\Omega^+$ , em que Goursat dá $0$ . Somando as peças: $\int_{\partial T}F = 0$ . Morera (o critério dentro do Teorema 16.15): $F$ é holomorfa em $\Omega$ .

(c) No disco, $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ é holomorfa pelo cálculo de (a) e coincide com $f$ no diâmetro, um conjunto com pontos de acumulação: $G = f$ em toda parte (teorema da identidade). Se $f$ fosse real num aberto não vazio $U$ : em $U$ as duas derivadas parciais de $Q = \operatorname{Im}f$ se anulam, e Cauchy–Riemann transfere isso para $P = \operatorname{Re}f$ ( $P_x = Q_y = 0$ , $P_y = -Q_x = 0$ ), de modo que $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ em $U$ : $f$ é constante em $U$ , logo em toda parte pelo teorema da identidade ( $\Omega$ conexo).

Exercício 16.12 ★★

(A equação pitagórica complexa) Encontre todos os pares de funções inteiras com $f^2 + g^2 = 1$ . (a) Mostre que $h = f + \iu g$ é inteira e sem zeros, e que toda função inteira sem zeros é $\eu^{\varphi}$ para alguma $\varphi$ inteira ( $h'/h$ é inteira, logo tem primitiva no estrelado $\C$ ; ajuste a constante e mostre que $h\eu^{-\varphi}$ é constante). (b) Conclua $f = \cos\varphi$ , $g = \sin\varphi$ com $\varphi$ inteiras, e verifique a recíproca. Quais são as soluções inteiras de $f^2 + g^2 = 0$ ?

Solução

Solução de Exercício 16.12.

(a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ , de modo que $h = f + \iu g$ nunca se anula (seu cofator teria de explodir). Para $h$ inteira sem zeros: $h'/h$ é inteira e $\C$ é estrelado, de modo que ela tem uma primitiva $\varphi_0$ (Teorema 16.8); então $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ com $c \neq 0$ e, absorvendo uma constante $\log c$ em $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (qualquer logaritmo complexo de $c$ ): $h = \eu^{\varphi}$ .

(b) Com $h = \eu^{\varphi}$ e $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ :

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

Escrevendo $\varphi = \iu\psi$ com $\psi = -\iu\varphi$ inteiras, isso se lê $f = \cos\psi$ , $g = \sin\psi$ : as soluções inteiras são exatamente os pares $(\cos\psi, \sin\psi)$ com $\psi$ inteira, e a recíproca é a identidade $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . Para $f^2 + g^2 = 0$ : $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ no domínio de integridade $\mathcal H(\C)$ ( $\C$ conexo: divisores de zero violariam o teorema da identidade): $g = \pm\iu f$ com $f$ inteira arbitrária.

16.6 Problema: o teorema fundamental da álgebra, duas vezes

Problema 16.1

Problema de fim de semana — $\C$ é algebricamente fechado: a demonstração de d’Alembert, a de Liouville e a colheita

Sejam $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ , $n \geq 1$ . Demonstramos duas vezes que $P$ tem raiz e, em seguida, recolhemos o que a álgebra espera desde o Capítulo 4.

Parte I — Coercividade e o mínimo.

Mostre que $\abs{P(z)} \to +\infty$ quando $\abs z \to \infty$ : mais precisamente, $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ para $\abs z \geq R_0$ adequado.
Deduza que $\abs P$ atinge um mínimo global em $\C$ : existe $z_0$ com $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (compacidade de um disco fechado grande, Corolário 6.17).

Parte II — A descida de d’Alembert. Suponha, por absurdo, $P(z_0) \neq 0$ .

Expanda $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ como polinômio em $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ com $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ e $S$ polinômio.
Escolha a direção de descida: para $t > 0$ pequeno, ponha $h = t\,\omega$ com $\omega^k = -1/c_k$ (por que existe um tal $\omega$ ? — demonstre a existência de raízes $k$ -ésimas de qualquer número complexo pela forma polar, independentemente do teorema em demonstração). Mostre que

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$

para $t$ pequeno, com uma constante $C$ explícita.
Conclua $\abs{Q(t\omega)} < 1$ para $t$ pequeno — contradizendo a minimalidade de $\abs{P(z_0)}$ . Logo $P(z_0) = 0$ : todo polinômio complexo não constante tem raiz (d’Alembert–Argand).

Parte III — A linha única de Liouville, por extenso.

Escreva com cuidado a demonstração do Corolário 16.12: se $P$ não tem raiz, verifique que $1/P$ é inteira e limitada (quantifique, usando a questão 1), logo constante, e conclua. Compare as duas demonstrações: que ingredientes cada uma usa? (A compacidade aparece em ambas — onde?)

Parte IV — A colheita.

Mostre que todo $P \in \C[X]$ de grau $n$ se decompõe: $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ com $\sum m_i = n$ (indução, divisão euclidiana por $(X - \alpha)$ ).
Mostre que os polinômios irredutíveis de $\R[X]$ são os de grau um e as quadráticas de discriminante negativo (pareie raízes conjugadas); deduza que todo polinômio real de grau ímpar tem raiz real e dê uma segunda demonstração desse último fato, de natureza ordinal (teorema do valor intermediário) — verificando que ambas concordam em $X^3 - X - 1$ .
Deduza as dívidas que este livro pode enfim pagar: (i) todo endomorfismo de um $\C$ -espaço vetorial não nulo de dimensão finita tem autovalor, de modo que toda matriz complexa tem forma de Jordan (Teorema 3.18); (ii) o corpo $\bar\Q$ dos números algébricos usado na Observação 4.10 é de fato um fecho algébrico de $\Q$ .
(Final) Localize onde cada demonstração se quebraria sobre um corpo como $\Q(\iu)$ : que passos usam a existência de raízes $k$ -ésimas (questão 4) e quais usam compacidade ou completude (questões 2 e 6)? Conclua em cinco linhas: o teorema é genuinamente analítico — toda demonstração invoca em algum ponto a completude ou a conexidade de $\R$ — ainda que seu enunciado seja puramente algébrico.

Parte V — A escada de rigidez das funções inteiras. Liouville é o primeiro degrau de uma escada; vamos subi-la.

(Estimativas de Cauchy) A partir da fórmula de Cauchy no círculo de raio $r$ em torno de $a$ , demonstre

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

e recupere Liouville como o caso $n = 1$ , $r \to \infty$ .
(Crescimento polinomial) Mostre que uma $f$ inteira com $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ para todo $z$ é um polinômio de grau $\leq m$ (mate os coeficientes de Taylor além de $m$ com a questão 11).
(Parte real limitada) Mostre que uma $f$ inteira com $\operatorname{Re}f$ limitada superiormente é constante (aplique Liouville a $\eu^{f}$ ).
(Dupla periodicidade) Seja $f$ inteira com $f(z + 1) = f(z)$ e $f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$ . Mostre que $f$ é constante. Conclua: uma função “elíptica” não constante tem de ter singularidades — a razão histórica pela qual os polos entram na análise complexa.
(Imagem densa) Mostre que a imagem de uma função inteira não constante é densa em $\C$ : se $f(\C)$ não encontra um disco $D(a, r)$ , então $\frac1{f - a}$ é inteira e limitada. (Picard demonstrou que a imagem omite no máximo um ponto; a densidade é o nível que nossas ferramentas alcançam.)
(Própria $\Rightarrow$ polinômio) Suponha $f$ inteira com $\abs{f(z)} \to \infty$ quando $\abs z \to \infty$ . Mostre: os zeros de $f$ são em número finito ( $z_1, \dots, z_p$ , com multiplicidades $m_i$ ); o quociente $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ é inteiro e sem zeros; $1/g$ tem crescimento polinomial, logo (questão 12) é um polinômio, necessariamente constante (sem zeros); conclua que $f$ é um polinômio. Assim, entre as funções inteiras, os polinômios são exatamente as próprias — $\eu^z$ falha a propriedade ao longo de $\R_-$ .

Parte VI — Sombras harmônicas e um valor médio de Gauss.

Seja $f = u + \iu v$ holomorfa em um aberto. Verifique que $u = \operatorname{Re}f$ satisfaz a propriedade do valor médio

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

(parte real da fórmula de Cauchy) e deduza o princípio do máximo para $u$ em um domínio limitado, com a mesma demonstração por conexidade usada para $\abs f$ .
(Valor médio de Gauss) Para $a \in \C$ e $r > 0$ com $\abs a \neq r$ , demonstre

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(se $\abs a > r$ : $z \mapsto \log\abs{a - z}$ é a parte real de um logaritmo holomorfo em uma vizinhança do disco fechado — por que existe um? —, de modo que a questão 17 se aplica; se $\abs a < r$ : fatore $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ e reutilize o primeiro caso).
(Medida de Mahler) Para $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ , deduza a fórmula de Jensen para polinômios:

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

a média geométrica de $\abs P$ no círculo unitário lê as raízes de fora do disco. Verifique em $P = X^2 - X$ e em $P = 2X - 1$ .
(Números de Bernoulli) Defina os coeficientes $B_n$ por $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ perto de $0$ (por que o membro esquerdo é analítico em $0$ ?). Deduza a recorrência $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) de $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ , calcule $B_0, \dots, B_6$ e mostre que $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ (a função $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ é par). Esses números vão precificar todo $\zeta(2k)$ no Capítulo 17.
(Realidade) Mostre que uma função inteira que toma valores reais em $\R$ satisfaz $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ em toda parte (compare os coeficientes de Taylor em $0$ , ou aplique o teorema da identidade a $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ ); deduza de novo que as raízes não reais de polinômios reais vêm em pares conjugados (o pareamento da questão 8, redemonstrado analiticamente).
(A moral) Monte a escada de rigidez: limitada $\Rightarrow$ constante; limitada polinomialmente $\Rightarrow$ polinômio; própria $\Rightarrow$ polinômio; omite um disco $\Rightarrow$ constante; duplamente periódica $\Rightarrow$ constante. Contraste em um parágrafo curto com as funções reais $\mathcal C^\infty$ (funções de corte, Teorema 12.9): por que a holomorfia, uma condição puramente local, impõe lei e ordem globais?

Parte VII — Última colheita.

(Desigualdade de Landau) Para $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ , demonstre o valor médio $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (ortogonalidade das $\eu^{\iu k\theta}$ ) e, depois, usando a cota pontual $\log t \leq t - 1$ para comparar as médias de $\log\abs P^2$ e $\abs P^2$ , deduza da questão 19 que

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

o produto das raízes fora do disco unitário é controlado pelo tamanho $\ell^2$ dos coeficientes (trate as raízes sobre o círculo aplicando a desigualdade a $P(rX)$ e fazendo $r \to 1$ ). Confira em $X^2 - X$ .
(Os números de Bernoulli crescem fatorialmente) Mostre que o raio de convergência de $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ é exatamente $2\pi$ : ao menos $2\pi$ porque $z/(\eu^z - 1)$ se estende holomorficamente a $D(0, 2\pi)$ , e no máximo $2\pi$ porque, do contrário, a soma permaneceria limitada perto de $2\pi\iu$ , onde $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ . Deduza

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

os números de Bernoulli crescem fatorialmente. Admitindo $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (a recorrência da questão 20, levada adiante), compare $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ com a previsão mais fina $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ em $k = 6$ — quatro algarismos coincidentes de uma lei assintótica que o Capítulo 17 demonstrará exatamente, via $\zeta(2k)$ .
(As raízes se movem continuamente) Sejam $(P_j)$ mônicos de grau $n$ com coeficientes convergindo aos de um $P$ (mônico). Demonstre a cota de Cauchy: toda raiz de um mônico $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ satisfaz $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ ; deduza que as raízes dos $P_j$ permanecem em um compacto fixo e, extraindo subsequências convergentes de vetores de raízes e passando ao limite na fatoração da questão 7, que os multiconjuntos de raízes de $P_j$ convergem ao de $P$ . Mostre, por fim, que a continuidade é o máximo que se pode afirmar: para $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ , uma perturbação de tamanho $\varepsilon = 10^{-4}$ move a raiz dupla $1$ de $10^{-2}$ — expoente de Hölder $\frac1m$ em uma raiz de multiplicidade $m$ , nunca lipschitziano: numericamente, raízes múltiplas custam metade dos algarismos.

Solução

Solução de Problema 16.1.

1. Para $\abs z \geq 1$ :

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

para $\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ , $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ .

2. Escolha $R \geq R_0$ com $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ . No compacto $\bar D(0, R)$ a contínua $\abs P$ atinge um mínimo, em algum $z_0$ ; fora, $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : o mínimo é global.

3. $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ é um polinômio em $h$ com $Q(0) = 1$ ; ele não é constante ( $P$ não é), de modo que algum coeficiente além do constante é não nulo: $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ com $k \geq 1$ minimal, $c_k \neq 0$ , $S \in \C[X]$ .

4. Raízes: todo $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ tem a raiz $k$ -ésima $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ , em que $\rho^{1/k}$ existe pelo teorema do valor intermediário aplicado a $t \mapsto t^k$ em $\intco0\infty$ — sem circularidade. Tome $\omega$ com $\omega^k = -1/c_k$ . Então

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

com $C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ (note $1 - t^k \geq 0$ em $\intcc01$ ).

5. Para $0 < t < \min(1, 1/C)$ : $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ , isto é, $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — contradizendo a minimalidade global. Logo $P(z_0) = 0$ : a demonstração de d’Alembert–Argand está completa.

6. Versão de Liouville: se $P$ nunca se anula, $1/P$ é inteira; pela questão 1, $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ fora de $\bar D(0, R_0)$ , e $1/P$ é contínua nesse disco compacto, logo limitada ali também: inteira e limitada, portanto constante (Corolário 16.12), tornando $P$ constante: absurdo. Ingredientes: d’Alembert usa a compacidade (existência do mínimo) e a existência, em forma polar, das raízes $k$ -ésimas; Liouville usa todo o aparato de Cauchy (Goursat — ele próprio um argumento de compactos encaixados — e as estimativas de Cauchy) mais a mesma coercividade. A compacidade dos discos fechados é o núcleo comum e irredutível.

7. Se $\deg P \geq 1$ , tome uma raiz $\alpha$ (questão 5); divida: $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ , com $\deg Q = n - 1$ ; faça indução. Agrupando fatores iguais: $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ , $\sum m_i = n$ .

8. Para $P$ real: $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , e as multiplicidades coincidem (conjugue a fatoração): as raízes não reais vêm aos pares, contribuindo com $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ , um trinômio real de discriminante $< 0$ . Daí a lista enunciada de irredutíveis, e um polinômio real de grau ímpar, tendo um número par de raízes não reais, deve ter uma raiz real. Demonstração direta: $P(x) \to \pm\infty$ quando $x \to \pm\infty$ (grau ímpar, com coeficiente dominante positivo, digamos), de modo que $P$ muda de sinal, e o teorema do valor intermediário se aplica. Para $X^3 - X - 1$ : ambos os argumentos dão a única raiz real $\approx 1.3247$ (e um par conjugado).

9. (i) $\chi_u \in \C[X]$ não é constante: ele tem uma raiz $\lambda$ , e $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ dá um autovetor; a maquinaria dos divisores elementares do Teorema 3.18 se aplica então a qualquer matriz complexa, cindindo $\chi$ sempre. (ii) Seja $P \in \bar\Q[X]$ não constante. Como polinômio sobre $\C$ , ele tem uma raiz $z \in \C$ ; $z$ é algébrico sobre $\bar\Q$ , logo sobre $\Q$ por transitividade (Corolário 4.5), de modo que $z \in \bar\Q$ : todo polinômio não constante sobre $\bar\Q$ tem raiz em $\bar\Q$ .

10. Sobre $\Q(\iu)$ , já a questão 4 falha: raízes $k$ -ésimas podem não existir (não há $\sqrt2$ ) e, mesmo concedendo as raízes, a questão 2 falha — uma sequência minimizante pode não convergir, faltando a $\Q$ a completude; no caminho de Liouville, os triângulos compactos encaixados de Goursat têm interseção vazia sobre os pontos de $\Q(\iu)$ . Ambas as demonstrações consomem a completude (equivalentemente, via convergência monótona limitada, a completude da ordem) de $\R$ ; a conexidade alimenta o teorema do valor intermediário por trás da forma polar. O enunciado “ $\C$ é algebricamente fechado” é álgebra; toda demonstração conhecida dele é análise contrabandeada pela definição de $\R$ .

11. Pelo Teorema 16.10 em $a$ , $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ com

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

as estimativas de Cauchy, na forma em destaque após multiplicar por $n!$ . Se $\abs f \leq M$ em $\C$ : para todo $a$ e todo $r$ , $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ quando $r \to \infty$ , de modo que $f' \equiv 0$ e $f$ é constante no conexo $\C$ — Liouville recuperado.

12. Expanda $f = \sum_kc_kz^k$ em $0$ (raio $\infty$ ). Para $k > m$ : $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ quando $r \to \infty$ , de modo que $c_k = 0$ : $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ é um polinômio de grau no máximo $m$ .

13. $g = \eu^f$ é inteira com $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante pela questão 11. Então $0 = g' = f'g$ com $g$ sem zeros: $f' = 0$ e $f$ é constante.

14. Seja $M = \sup_K\abs f$ no quadrado unitário fechado compacto $K$ . Todo $z$ difere de um ponto de $K$ por um elemento de $\Z + \iu\Z$ (subtraia as partes inteiras), e iterar as duas relações de periodicidade deixa $f$ inalterada: $\abs f \leq M$ em todo $\C$ , e a questão 11 torna $f$ constante. Assim, uma função não constante invariante pelo reticulado não pode ser inteira: as funções elípticas da teoria clássica precisam carregar polos — a porta histórica para o Capítulo 17.

15. Se $f(\C)$ não encontra o disco $D(a, r)$ , então $\abs{f(z) - a} \geq r$ para todo $z$ , de modo que $g = 1/(f - a)$ é inteira com $\abs g \leq 1/r$ : constante por Liouville, logo $f$ constante. Contrapositiva: a imagem de uma função inteira não constante encontra todo disco — ela é densa em $\C$ .

16. Escolha $R$ com $\abs f \geq 1$ fora de $D(0, R)$ . Os zeros de $f$ estão no compacto $\bar D(0, R)$ ; se fossem infinitos, eles se acumulariam ali, e o Teorema 16.13 forçaria $f \equiv 0$ — impossível. Chame-os $z_1, \dots, z_p$ , com multiplicidades $m_1, \dots, m_p$ , ponha $M = \sum m_i$ e $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ . Fatorando cada zero para fora da série de potências, $g = f/\Pi$ é inteira e sem zeros. Para $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ : $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ e $\abs f \geq 1$ , de modo que $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; no disco compacto restante, $1/g$ é contínua, logo limitada: $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ em toda parte. Pela questão 12, $1/g$ é um polinômio; ele não tem zeros, de modo que, pela questão 7, é uma constante não nula $c$ : $f = \frac1c\Pi$ é um polinômio. Reciprocamente, a questão 1 torna próprio todo polinômio não constante. E $\eu^z$ está honestamente excluída: ao longo de $\R_-$ , $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ , ao passo que $\abs z \to \infty$ .

17. Parametrize o Teorema 16.9 no centro: com $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ , $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ ,

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

tomar as partes reais dá a propriedade da média de $u$ . Se $u$ atinge um máximo num ponto interior do conexo $\Omega$ : $\abs{\eu^f} = \eu^u$ atinge um máximo interior, de modo que $\eu^f$ é constante pelo Teorema 16.14(2), e $u = \log\abs{\eu^f}$ é constante. Num domínio limitado com continuidade até o bordo, $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ , exatamente como para $\abs f$ .

18. Caso $\abs a > r$ . Tome $R$ com $r < R < \abs a$ : no disco convexo $D(0, R)$ a função $a - z$ é holomorfa e sem zeros, e $z \mapsto -1/(a - z)$ tem ali uma primitiva $L$ (Teorema 16.8); após ajustar a constante, $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ dá $\eu^L = a - z$ : existe um logaritmo holomorfo, e $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ . A propriedade da média da questão 17 em $0$ , de raio $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

Caso $\abs a < r$ . De $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ , a média é $\log r$ mais a média de $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ . A substituição $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ e, em seguida — escrevendo $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ , $\rho < 1$ , sendo trivial o caso $a = 0$ —, o deslocamento $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (ambos preservam médias sobre um período) transformam isso na média de $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : o primeiro caso com $(a, r) = (1, \rho)$ , que dá $\log 1 = 0$ . Total: $\log r = \log\max(\abs a, r)$ nos dois casos.

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ , repetida cada raiz conforme sua multiplicidade; fazendo a média em $\theta$ e aplicando a questão 18 com $r = 1$ a cada raiz fora do círculo unitário, obtém-se $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ . Verificações. Para $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ a fórmula prevê $\log 2$ ; diretamente, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ e a média de $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ é $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : média $\log 2$ . Para $P = X^2 - X = X(X - 1)$ a raiz $1$ está sobre o círculo; a fórmula prevê $0$ . Diretamente, a média de $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ é $0$ e, com $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

A substituição $u = 2v$ e $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ dão $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (cada metade vale $J/2$ pelas simetrias de $\sin$ ), de modo que $J = -\pi\log 2$ (as integrais impróprias convergem, sendo $\log\sin$ integrável nos extremos): a média é $\log2 - \log2 = 0$ . A fórmula sobrevive a raízes no círculo.

20. $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ é inteira e vale $1$ em $0$ : seu recíproco é holomorfo perto de $0$ (em $\abs z < 2\pi$ , de fato, sendo os zeros não nulos mais próximos de $\eu^z - 1$ os pontos $\pm2\iu\pi$ ), de modo que $\frac z{\eu^z-1}$ é analítica em $0$ . Multiplicando as duas séries e lendo o coeficiente de $z^n$ , $n \geq 1$ , em $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ :

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

Sucessivamente: $B_0 = 1$ , $B_1 = -\frac12$ , $B_2 = \frac16$ , $B_3 = 0$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_5 = 0$ , $B_6 = \frac1{42}$ . Paridade: com $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ ,

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

$F$ é par, de modo que $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ (o único coeficiente ímpar $B_1$ foi absorvido por $+\frac z2$ ). Aviso adiantado: $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ dá $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ , de modo que os coeficientes de Laurent da cotangente — e portanto, pelo Capítulo 17, todo $\zeta(2k)$ — são precificados por números de Bernoulli:

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. Escreva $f = \sum_nc_nz^n$ (raio $\infty$ ); então $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ é inteira. Em $\R$ : $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ , de modo que $g$ e $f$ coincidem num conjunto com pontos de acumulação no conexo $\C$ : o Teorema 16.13 dá $g \equiv f$ , isto é, $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (equivalentemente: todos os $c_n$ são reais). Para um polinômio real $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , e a mesma identidade aplicada às derivadas reais $P', P'', \dots$ preserva multiplicidades: as raízes não reais se emparelham — o emparelhamento da questão 8, redemonstrado analiticamente.

22. A escada, montada: limitada $\Rightarrow$ constante (11); dominada por $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ polinômio (12); parte real limitada superiormente $\Rightarrow$ constante (13); duplamente periódica $\Rightarrow$ constante (14); imagem que perde um disco $\Rightarrow$ constante (15); própria $\Rightarrow$ polinômio (16). Cada degrau é a fórmula de Cauchy: o valor num ponto é uma média sobre um círculo, de modo que todos os coeficientes de Taylor são precificados pelo tamanho de $f$ em círculos grandes, e um teto de crescimento aniquila coeficientes no atacado. Nada disso restringe funções reais $\mathcal C^\infty$ : uma função-pico (Teorema 12.9) é limitada, de suporte compacto e selvagemente não constante, e suas derivadas em qualquer ponto fora do suporte se anulam todas sem que a função se anule em vizinhança alguma. A regularidade não acopla em nada as derivadas em pontos distintos; a holomorfia acorrenta cada derivada a uma única integral sobre um círculo distante. Uma condição local com um informante global — eis por que as funções inteiras obedecem à lei e à ordem.

23. Expandir $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ e tomar a média mata todo termo $k \neq l$ : a média é $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ . Suponha primeiro que $P$ não tenha zero no círculo unitário, de modo que $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ é contínua. A cota $\log t \leq t - 1$ aplicada a $t = \abs P^2/N$ dá, após a média,

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

de modo que a média geométrica de $\abs P$ é no máximo $\sqrt N$ ; a questão 19 identifica essa média geométrica como $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : a desigualdade de Landau. Raízes no círculo: tome $r > 1$ distinto de todo $\abs{\alpha_i}$ ; o polinômio $P(rX)$ , com raízes $\alpha_i/r$ fora do círculo unitário e coeficientes $a_kr^k$ , satisfaz a desigualdade; ambos os membros são contínuos em $r$ , e fazer $r \to 1^+$ dá o caso geral. Em $X^2 - X$ : raízes $0$ e $1$ , de modo que o membro esquerdo é $1$ , e o direito é $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : verdadeiro, com folga.

24. Escreva $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ com $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ inteira, $g(0) = 1$ . Como $\eu^z = 1$ exatamente em $2\pi\iu\Z$ , $g$ não tem zero em $D(0, 2\pi)$ (para $0 < \abs z < 2\pi$ porque $\eu^z - 1 \neq 0$ , e em $0$ por $g(0) = 1$ ), de modo que $h = 1/g$ é holomorfa em $D(0,2\pi)$ e sua série de Taylor em $0$ — por definição $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — converge em todo o disco: $\rho \geq 2\pi$ . Se $\rho > 2\pi$ , a soma $S$ seria holomorfa em $D(0,\rho)$ , e ela coincide com $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ em $0 < \abs z < 2\pi$ ; ambas são holomorfas no aberto conexo $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ , de modo que, pelo teorema da identidade, coincidem ali. Mas, quando $z \to 2\pi\iu$ , $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (numerador $\to 2\pi$ , denominador $\to 0$ ), ao passo que $S$ é contínua em $2\pi\iu$ : contradição. Logo $\rho = 2\pi$ exatamente, e a fórmula de Hadamard dá $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ; sendo nulos os coeficientes ímpares a partir de $n = 3$ , o $\limsup$ é carregado pelos índices pares, o que é a fórmula enunciada com $n = 2k$ . Numericamente em $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ e $2\cdot12! = 958\,003\,200$ , de modo que $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ , contra $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$ . A razão, $1.00025$ , é exatamente $\zeta(12)$ nos dígitos exibidos: a fórmula do cálculo de resíduos $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ do Capítulo 17 explica tanto o fator $2$ quanto o minúsculo excesso.

25. Cota de Cauchy: se $\abs z > 1 + M$ com $M = \max_k\abs{q_k}$ , então

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

de modo que $\abs{Q(z)} > 0$ : todas as raízes estão em $\overline D(0, 1+M)$ . Os coeficientes dos $P_j$ convergem, logo são limitados por algum $M$ : todas as raízes de todos os $P_j$ (e de $P$ ) estão no compacto $K = \overline D(0, 1 + M)$ . Seja $v_j \in K^n$ um vetor que lista as raízes de $P_j$ com multiplicidade (questão 7). Toda subsequência de $(v_j)$ tem uma subsequência ulterior convergindo para algum $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ ; os coeficientes de $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ são, a menos de sinal, as funções simétricas elementares de $v_j$ — contínuas —, de modo que, ao longo dessa subsequência, eles convergem para os coeficientes de $\prod_i(X - \beta_i)$ ; mas eles convergem para os de $P$ por hipótese, de modo que $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : todo limite subsequencial de $(v_j)$ é uma permutação do vetor de raízes de $P$ . Se a distância de emparelhamento $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ não tendesse a $0$ , uma subsequência manteria $\delta_j \geq \varepsilon$ enquanto seus vetores de raízes convergem para uma permutação das raízes de $P$ — forçando $\delta_j \to 0$ ao longo dela: contradição. Logo os multiconjuntos de raízes convergem. Otimalidade: $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ tem raízes $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : a raiz dupla se move de $\sqrt\varepsilon$ , por exemplo de $10^{-2}$ para $\varepsilon = 10^{-4}$ . Em geral, se $\alpha$ é uma raiz de multiplicidade $m$ , então, perto de $\alpha$ , tem-se $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ , de modo que uma perturbação de tamanho $\varepsilon$ desloca o agregado de raízes em cerca de $\varepsilon^{1/m}$ : continuidade hölderiana de expoente $\frac1m$ e nada melhor — é por isso que um resolvedor numérico perto de uma raiz dupla retém apenas metade dos dígitos de trabalho.