O que é Mínimo múltiplo comum? — Matemática

Definição 6.10 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 6 — Aritmética dos Inteiros

$\operatorname{lcm}(a, b)$ é o gerador em $\N$ do subgrupo $a\Z \cap b\Z$ : é um múltiplo comum de $a$ e $b$ que divide todo múltiplo comum e, para $a, b \in \N^*$ ,

\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b) = ab \qquad (\text{demonstração no} \text{Exercício 6.5}).

Exemplos

Exemplo 6.11 (Problemas de alinhamento são problemas de mmc)

Duas engrenagens acopladas têm $84$ e $36$ dentes. Após quantos dentes de movimento comum elas voltam juntas à posição inicial? A configuração se repete quando o número de dentes decorridos é um múltiplo comum de $84$ e $36$ ; a primeira vez é em

\operatorname{lcm}(84, 36) = \frac{84 \times 36}{\gcd(84, 36)} = \frac{3024}{12} = 252

dentes — isto é, $3$ voltas da engrenagem grande e $7$ da pequena ( $252/84$ e $252/36$ ). Note o caminho prático: calcule primeiro o mdc (Euclides: $84 = 2\times36 + 12$ , $36 = 3\times12$ ) e depois divida — nunca construa o mmc listando múltiplos. Toda questão de coincidência periódica (engrenagens, alinhamentos planetários, dízimas que se reencontram) reduz-se a esse único cálculo.

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