Wat is Kleinste gemene veelvoud? — Wiskunde

Definitie 6.10 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 6 — Getaltheorie in ℤ

$\operatorname{lcm}(a, b)$ is de voortbrenger in $\N$ van de deelgroep $a\Z \cap b\Z$ : het is een gemeen veelvoud van $a$ en $b$ dat elk gemeen veelvoud deelt, en voor $a, b \in \N^*$ geldt

\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b) = ab \qquad (\text{bewijs in } \text{Oefening 6.5}).

Voorbeelden

Voorbeeld 6.11 (Samenloopvragen zijn kgv-vragen)

Twee in elkaar grijpende tandwielen hebben $84$ en $36$ tanden. Na hoeveel tanden gemeenschappelijke beweging keren ze samen naar hun beginstand terug? De configuratie herhaalt zich wanneer het aantal verstreken tanden een gemeen veelvoud van $84$ en $36$ is; de eerste keer is dat na

\operatorname{lcm}(84, 36) = \frac{84 \times 36}{\gcd(84, 36)} = \frac{3024}{12} = 252

tanden — dat wil zeggen $3$ omwentelingen van het grote en $7$ van het kleine tandwiel ( $252/84$ en $252/36$ ). Let op de praktische weg: bereken eerst de ggd (Euclides: $84 = 2\times36 + 12$ , $36 = 3\times12$ ) en deel dan — bouw het kgv nooit door veelvouden op te sommen. Elke vraag over periodieke samenloop (tandwielen, standen van planeten, samenvallende repeterende breuken) herleidt zich tot deze ene berekening.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen