Qu'est-ce que « Plus petit commun multiple » ? — Mathématiques

Définition 6.10 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 6 — Arithmétique des entiers

$\operatorname{lcm}(a, b)$ est le générateur dans $\N$ du sous-groupe $a\Z \cap b\Z$ : c’est un multiple commun de $a$ et $b$ qui divise tout multiple commun, et pour $a, b \in \N^*$ ,

\gcd(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b) = ab \qquad (\text{démonstration à l'} \text{Exercice 6.5}).

Exemples

Exemple 6.11 (Les problèmes de coïncidence sont des problèmes de PPCM)

Deux engrenages en prise ont $84$ et $36$ dents. Au bout de combien de dents de mouvement commun reviennent-ils ensemble à leur position initiale ? La configuration se répète lorsque le nombre de dents écoulées est un multiple commun de $84$ et de $36$ ; la première fois, c’est au bout de

\operatorname{lcm}(84, 36) = \frac{84 \times 36}{\gcd(84, 36)} = \frac{3024}{12} = 252

dents — c’est-à-dire $3$ tours du grand engrenage et $7$ du petit ( $252/84$ et $252/36$ ). Notons la voie pratique : calculer d’abord le PGCD (Euclide : $84 = 2\times36 + 12$ , $36 = 3\times12$ ), puis diviser — jamais construire le PPCM en listant les multiples. Toute question de coïncidence périodique (engrenages, alignements planétaires, développements décimaux périodiques qui se rejoignent) se ramène à ce seul calcul.

Lire dans le chapitre →

Exemples

Termes liés