O que é Gradiente, divergente, rotacional, laplaciano? — Física

Definição 11.1 Física universitária — 2.º ano · Capítulo 11 — As equações de Maxwell

Para um campo escalar $f$ e um campo vetorial $\vect A$ , em coordenadas cartesianas, com o vetor simbólico $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)$ :

\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

e $\Delta\vect A$ é o laplaciano tomado em cada componente cartesiana. Seus significados independem das coordenadas: $\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f$ é a variação de $f$ ao longo de $\dd\vect l$ ; $\operatorname{div} \vect A$ é o fluxo de $\vect A$ que sai pela superfície de um volume pequeno, por unidade de volume; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ é a circulação de $\vect A$ em torno de uma espira pequena de normal $\vect n$ , por unidade de área.

Os dois operadores das equações de Maxwell, lidos geometricamente: o divergente mede o quanto um campo sai de um volume pequeno, e o rotacional o quanto ele circula em torno de uma espira pequena.

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