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Física · Glossário

O que é Gradiente, divergente, rotacional, laplaciano?

Definição 11.1 Física universitária — 2.º ano · Capítulo 11 — As equações de Maxwell

Para um campo escalar ff e um campo vetorial A→\vect A, em coordenadas cartesianas, com o vetor simbólico ∇→=(∂x,∂y,∂z)\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z):

grad→⁡f=∇→f=(∂xf, ∂yf, ∂zf),div⁡A→=∇→⋅A→=∂xAx+∂yAy+∂zAz,curl→⁡A→=∇→∧A→=(∂yAz−∂zAy, ∂zAx−∂xAz, ∂xAy−∂yAx),Δf=div⁡grad→⁡f=∂x2f+∂y2f+∂z2f,\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

e ΔA→\Delta\vect A é o laplaciano tomado em cada componente cartesiana. Seus significados independem das coordenadas: grad→⁡f⋅ ⁣dl→= ⁣df\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f é a variação de ff ao longo de  ⁣dl→\dd\vect l; div⁡A→\operatorname{div} \vect A é o fluxo de A→\vect A que sai pela superfície de um volume pequeno, por unidade de volume; curl→⁡A→⋅n→\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n é a circulação de A→\vect A em torno de uma espira pequena de normal n→\vect n, por unidade de área.

Os dois operadores das equações de Maxwell, lidos geometricamente: o divergente mede o quanto um campo sai de um volume pequeno, e o rotacional o quanto ele circula em torno de uma espira pequena.
Os dois operadores das equações de Maxwell, lidos geometricamente: o divergente mede o quanto um campo sai de um volume pequeno, e o rotacional o quanto ele circula em torno de uma espira pequena.
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