¿Qué es Gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano? — Física

Definición 11.1 Física universitaria — segundo año · Capítulo 11 — Las ecuaciones de Maxwell

Para un campo escalar $f$ y un campo vectorial $\vect A$ , en coordenadas cartesianas con el vector simbólico $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)$ :

\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

y $\Delta\vect A$ es el laplaciano tomado sobre cada componente cartesiana. Su significado no depende de las coordenadas: $\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f$ es la variación de $f$ a lo largo de $\dd\vect l$ ; $\operatorname{div} \vect A$ es el flujo saliente de $\vect A$ por la superficie de un volumen pequeño, por unidad de volumen; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ es la circulación de $\vect A$ en torno a un lazo pequeño de normal $\vect n$ , por unidad de área.

Los dos operadores de las ecuaciones de Maxwell, leídos geométricamente: la divergencia mide cuánto sale un campo de un volumen pequeño, y el rotacional cuánto circula en torno a un lazo pequeño.

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