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Física · Glosario

¿Qué es Gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano?

Definición 11.1 Física universitaria — segundo año · Capítulo 11 — Las ecuaciones de Maxwell

Para un campo escalar ff y un campo vectorial A→\vect A, en coordenadas cartesianas con el vector simbólico ∇→=(∂x,∂y,∂z)\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z):

grad→⁡f=∇→f=(∂xf, ∂yf, ∂zf),div⁡A→=∇→⋅A→=∂xAx+∂yAy+∂zAz,curl→⁡A→=∇→∧A→=(∂yAz−∂zAy, ∂zAx−∂xAz, ∂xAy−∂yAx),Δf=div⁡grad→⁡f=∂x2f+∂y2f+∂z2f,\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

y ΔA→\Delta\vect A es el laplaciano tomado sobre cada componente cartesiana. Su significado no depende de las coordenadas: grad→⁡f⋅ ⁣dl→= ⁣df\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f es la variación de ff a lo largo de  ⁣dl→\dd\vect l; div⁡A→\operatorname{div} \vect A es el flujo saliente de A→\vect A por la superficie de un volumen pequeño, por unidad de volumen; curl→⁡A→⋅n→\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n es la circulación de A→\vect A en torno a un lazo pequeño de normal n→\vect n, por unidad de área.

Los dos operadores de las ecuaciones de Maxwell, leídos geométricamente: la divergencia mide cuánto sale un campo de un volumen pequeño, y el rotacional cuánto circula en torno a un lazo pequeño.
Los dos operadores de las ecuaciones de Maxwell, leídos geométricamente: la divergencia mide cuánto sale un campo de un volumen pequeño, y el rotacional cuánto circula en torno a un lazo pequeño.
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