Wat is Gradiënt, divergentie, rotatie, laplaciaan? — Natuurkunde

Definitie 11.1 Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Hoofdstuk 11 — De vergelijkingen van Maxwell

Voor een scalair veld $f$ en een vectorveld $\vect A$ geldt, in cartesische coördinaten met de symbolische vector $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)$ :

\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

en $\Delta\vect A$ is de laplaciaan, op elke cartesische component genomen. Hun betekenis hangt niet van de coördinaten af: $\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f$ is de verandering van $f$ langs $\dd\vect l$ ; $\operatorname{div} \vect A$ is de uitgaande flux van $\vect A$ door het oppervlak van een klein volume, per volume-eenheid; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ is de circulatie van $\vect A$ langs een kleine lus met normaal $\vect n$ , per oppervlakte-eenheid.

De twee operatoren van de vergelijkingen van Maxwell, meetkundig gelezen: de divergentie meet hoeveel een veld uit een klein volume wegstroomt, de rotatie hoeveel het langs een kleine lus circuleert.

Lees in het hoofdstuk →