Qu'est-ce que « Gradient, divergence, rotationnel, laplacien » ? — Physique

Définition 11.1 Physique universitaire — 2e année · Chapitre 11 — Les équations de Maxwell

Pour un champ scalaire $f$ et un champ de vecteurs $\vect A$ , en coordonnées cartésiennes avec le vecteur symbolique $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)$ :

\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

et $\Delta\vect A$ est le laplacien pris sur chaque composante cartésienne. Leur sens ne dépend pas des coordonnées : $\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f$ est la variation de $f$ selon $\dd\vect l$ ; $\operatorname{div} \vect A$ est le flux sortant de $\vect A$ à travers la surface d’un petit volume, par unité de volume ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ est la circulation de $\vect A$ autour d’un petit contour de normale $\vect n$ , par unité d’aire.

Les deux opérateurs des équations de Maxwell, lus géométriquement : la divergence mesure combien un champ sort d’un petit volume, le rotationnel combien il circule autour d’un petit contour.

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