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भौतिकी · शब्दावली

प्रवणता, अपसरण, कर्ल, लाप्लासीय क्या है?

परिभाषा 11.1 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2 · अध्याय 11 — मैक्सवेल के समीकरण

किसी अदिश क्षेत्र ff और किसी सदिश क्षेत्र A→\vect A के लिए, कार्तीय निर्देशांकों में, सांकेतिक सदिश ∇→=(∂x,∂y,∂z)\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z) के साथ:

grad→⁡f=∇→f=(∂xf, ∂yf, ∂zf),div⁡A→=∇→⋅A→=∂xAx+∂yAy+∂zAz,curl→⁡A→=∇→∧A→=(∂yAz−∂zAy, ∂zAx−∂xAz, ∂xAy−∂yAx),Δf=div⁡grad→⁡f=∂x2f+∂y2f+∂z2f,\begin{align*} \operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\ \operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\ \operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\ \Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f , \end{align*}

और ΔA→\Delta\vect A हर कार्तीय घटक पर लिया गया लाप्लासीय है। इनका अर्थ निर्देशांकों से स्वतंत्र है: grad→⁡f⋅ ⁣dl→= ⁣df\operatorname{\vect{grad}}f \cdot\dd\vect l = \dd f ff का परिवर्तन है,  ⁣dl→\dd\vect l के अनुदिश; div⁡A→\operatorname{div} \vect A किसी छोटे आयतन के पृष्ठ से A→\vect A का बाहर जाता अभिवाह है, प्रति एकांक आयतन; और curl→⁡A→⋅n→\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n A→\vect A का परिचालन है, किसी ऐसे छोटे पाश के चारों ओर जिसका अभिलंब n→\vect n हो, प्रति एकांक क्षेत्रफल।

मैक्सवेल के समीकरणों के दोनों संकारक, ज्यामितीय रूप से पढ़े गए: अपसरण नापता है कि कोई क्षेत्र किसी छोटे आयतन से कितना बाहर बहता है, और कर्ल यह कि वह किसी छोटे पाश के चारों ओर कितना परिचालित होता है।
मैक्सवेल के समीकरणों के दोनों संकारक, ज्यामितीय रूप से पढ़े गए: अपसरण नापता है कि कोई क्षेत्र किसी छोटे आयतन से कितना बाहर बहता है, और कर्ल यह कि वह किसी छोटे पाश के चारों ओर कितना परिचालित होता है।
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