ما معنى تقارب مطلق في فضاء باناخ؟

مثال 7.2

في $\mathcal{M}_n(K)$ (أو في $\mathcal{L}_c(E)$، حيث $E$ فضاء باناخ): من أجل $\vertiii A < 1$، تتقارب متسلسلة نويمان $\sum A^k$ بإطلاق إلى $(I - A)^{-1}$ (وقد بُرهن على ذلك في التمرين 5.5)؛ وتتقارب $\sum \frac{A^k}{k!}$ بإطلاق إلى $\eu^A$ من أجل كل $A$ (المثال 5.22). فالمتسلسلتان الهندسية والأسّية ذواتا القيم المؤثِّرة تسلكان مثل نموذجيهما العدديين — وهو كل مغزى إطار باناخ.

مثال 7.4

$\sum \frac{\sin n}{n}$ تتقارب: فلدينا $a_n = \frac1n \downarrow 0$ و $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ محدودة — بل إنها $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$، وطويلتها $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. ولا تتقارب بإطلاق (إذ $\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$، و$\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ متباعدة لأن $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ متقاربة بمحك آبل نفسه في حين أن $\sum \frac{1}{2n}$ متباعدة). ومحك المتسلسلات المتناوبة هو الحالة الخاصة $b_n = (-1)^n$.

مثال 7.5 (آبل على دائرة التقارب)

من أجل أي أعداد عقدية $z$ بشرط $\abs z = 1$ تتقارب $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$؟ عند $z = 1$ تكون المتسلسلة التوافقية: فتتباعد. ومن أجل $z \neq 1$ على الدائرة، ينطبق محك آبل مع $a_n = \frac1n \downarrow 0$ ومع $b_n = z^n$، التي تكون مجاميعها الجزئية محدودة بغض النظر عن $N$:

فهي متقاربة — وإن لم تكن بإطلاق أبدًا ($\sum\frac1n$). متسلسلة واحدة ودائرة من السلوكات: تباعد عند نقطة واحدة، وتقارب نصفي في كل مكان آخر. وهذا هو السلوك الحدّي القياسي لمتسلسلات القوى (الفصل 11)، ملقىً هنا باليدين المجرّدتين؛ وعند $z = -1$ نستعيد المتسلسلة التوافقية المتناوبة، وعند $z = \eu^{\iu\theta}$ يكون جزآها الحقيقي والتخيلي هما المتسلسلتين $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ و$\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ في التمرين 7.4.