O que é convergência absoluta num espaço de Banach?

Exemplo 7.2

Em $\mathcal{M}_n(K)$ (ou $\mathcal{L}_c(E)$, com $E$ de Banach): para $\vertiii A < 1$, a série de Neumann $\sum A^k$ converge absolutamente para $(I - A)^{-1}$ (demonstrado no Exercício 5.5); $\sum \frac{A^k}{k!}$ converge absolutamente para $\eu^A$ para toda $A$ (Exemplo 5.22). As séries geométrica e exponencial com valores em operadores comportam-se como seus modelos escalares — exatamente o propósito do quadro de Banach.

Exemplo 7.4

$\sum \frac{\sin n}{n}$ converge: $a_n = \frac1n \downarrow 0$ e $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ é limitada — de fato $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$, de módulo $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. Ela não converge absolutamente ($\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$, e $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ diverge, pois $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ converge pelo mesmo critério de Abel enquanto $\sum \frac{1}{2n}$ diverge). O critério das séries alternadas é o caso particular $b_n = (-1)^n$.

Exemplo 7.5 (Abel sobre o círculo de convergência)

Para quais complexos $z$ com $\abs z = 1$ a série $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$ converge? Em $z = 1$ ela é a série harmônica: divergente. Para $z \neq 1$ no círculo, o critério de Abel se aplica com $a_n = \frac1n \downarrow 0$ e $b_n = z^n$, cujas somas parciais são limitadas independentemente de $N$:

Convergente — embora nunca absolutamente ($\sum\frac1n$). Uma série, um círculo de comportamentos: divergência num único ponto, semiconvergência em todos os demais. Esse é o comportamento padrão na fronteira das séries de potências (Capítulo 11), aqui encontrado na unha; em $z = -1$ ele recupera a série harmônica alternada, e em $z = \eu^{\iu\theta}$ suas partes real e imaginária são as séries $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ e $\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ do Exercício 7.4.