Apa itu kekonvergenan mutlak pada ruang Banach?

Contoh 7.2

Di $\mathcal{M}_n(K)$ (atau $\mathcal{L}_c(E)$ dengan $E$ Banach): untuk $\vertiii A < 1$, deret Neumann $\sum A^k$ konvergen mutlak ke $(I - A)^{-1}$ (yang dibuktikan pada Latihan 5.5); sedangkan $\sum \frac{A^k}{k!}$ konvergen mutlak ke $\eu^A$ untuk setiap $A$ (Contoh 5.22). Deret geometri dan deret eksponensial bernilai operator berkelakuan seperti model skalarnya — dan itulah seluruh inti kerangka Banach.

Contoh 7.4

Deret $\sum \frac{\sin n}{n}$ konvergen: sebab $a_n = \frac1n \downarrow 0$ dan $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ terbatas — memang $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$, yang bermodulus $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. Deret itu tidak konvergen mutlak (sebab $\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$, dan $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ divergen karena $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ konvergen lewat uji Abel yang sama sedangkan $\sum \frac{1}{2n}$ divergen). Uji deret berselang-seling tak lain kasus khusus $b_n = (-1)^n$.

Contoh 7.5 (Abel pada lingkaran kekonvergenan)

Untuk $z$ kompleks yang mana dengan $\abs z = 1$ deret $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$ konvergen? Di $z = 1$ ia menjadi deret harmonik, jadi divergen. Untuk $z \neq 1$ pada lingkarannya, uji Abel berlaku dengan $a_n = \frac1n \downarrow 0$ dan $b_n = z^n$, yang jumlah parsialnya terbatas tanpa bergantung pada $N$:

Jadi konvergen — walaupun tak pernah mutlak (sebab $\sum\frac1n$). Satu deret, selingkar perilaku: divergen di satu titik saja, dan semi-konvergen di semua titik lainnya. Inilah perilaku baku di perbatasan bagi deret pangkat (Bab 11), yang di sini dijumpai dengan tangan kosong; di $z = -1$ ia memulihkan deret harmonik berselang-seling, dan di $z = \eu^{\iu\theta}$ bagian real dan bagian imajinernya adalah deret $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ dan $\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ pada Latihan 7.4.