Wat is absolute convergentie in een banachruimte?

Voorbeeld 7.2

In $\mathcal{M}_n(K)$ (of in $\mathcal{L}_c(E)$ met $E$ een banachruimte): voor $\vertiii A < 1$ convergeert de neumannreeks $\sum A^k$ absoluut naar $(I - A)^{-1}$ (bewezen in Oefening 5.5); en $\sum \frac{A^k}{k!}$ convergeert voor elke $A$ absoluut naar $\eu^A$ (Voorbeeld 5.22). Meetkundige en exponentiële reeksen met operatorwaarden gedragen zich als hun scalaire modellen — en dat is de hele bedoeling van het banachkader.

Voorbeeld 7.4

$\sum \frac{\sin n}{n}$ convergeert: $a_n = \frac1n \downarrow 0$ en $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ is begrensd — immers $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$, van modulus $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. Zij convergeert niet absoluut ($\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$, en $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ divergeert omdat $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ met dezelfde test van Abel convergeert terwijl $\sum \frac{1}{2n}$ divergeert). De test voor alternerende reeksen is het bijzondere geval $b_n = (-1)^n$.

Voorbeeld 7.5 (Abel op de convergentiecirkel)

Voor welke complexe $z$ met $\abs z = 1$ convergeert $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$? In $z = 1$ is het de harmonische reeks: die divergeert. Voor $z \neq 1$ op de cirkel is de test van Abel van toepassing met $a_n = \frac1n \downarrow 0$ en $b_n = z^n$, waarvan de partiële sommen onafhankelijk van $N$ begrensd zijn:

Dus convergent — al is het nooit absoluut ($\sum\frac1n$). Eén reeks, een cirkel van gedragingen: divergentie in één enkel punt, en overal elders halve convergentie. Dit is het standaardgedrag van machtreeksen op de rand (Hoofdstuk 11), hier met blote handen aangetroffen; in $z = -1$ vindt men de alternerende harmonische reeks terug, en in $z = \eu^{\iu\theta}$ zijn het reële en het imaginaire deel de reeksen $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ en $\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ uit Oefening 7.4.