¿Qué es convergencia absoluta en un espacio de Banach?

Ejemplo 7.2

En $\mathcal{M}_n(K)$ (o en $\mathcal{L}_c(E)$ con $E$ de Banach): para $\vertiii A < 1$, la serie de Neumann $\sum A^k$ converge absolutamente a $(I - A)^{-1}$ (demostrado en el Ejercicio 5.5); y $\sum \frac{A^k}{k!}$ converge absolutamente a $\eu^A$ para toda $A$ (Ejemplo 5.22). Las series geométrica y exponencial con valores en operadores se comportan como sus modelos escalares: ese es todo el sentido del marco de Banach.

Ejemplo 7.4

$\sum \frac{\sin n}{n}$ converge: $a_n = \frac1n \downarrow 0$ y $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ está acotada; en efecto, $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$, de módulo $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. No converge absolutamente ($\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$, y $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ diverge, puesto que $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ converge por el mismo criterio de Abel mientras que $\sum \frac{1}{2n}$ diverge). El criterio de las series alternadas es el caso particular $b_n = (-1)^n$.

Ejemplo 7.5 (Abel sobre la circunferencia de convergencia)

¿Para qué complejos $z$ con $\abs z = 1$ converge $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$? En $z = 1$ es la serie armónica: divergente. Para $z \neq 1$ sobre la circunferencia se aplica el criterio de Abel con $a_n = \frac1n \downarrow 0$ y $b_n = z^n$, cuyas sumas parciales están acotadas independientemente de $N$:

Convergente, aunque nunca absolutamente (por $\sum\frac1n$). Una sola serie, toda una circunferencia de comportamientos: divergencia en un único punto y semiconvergencia en todos los demás. Este es el comportamiento habitual de las series de potencias en la frontera (Capítulo 11), encontrado aquí a mano; en $z = -1$ recupera la serie armónica alternada, y en $z = \eu^{\iu\theta}$ sus partes real e imaginaria son las series $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ y $\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ del Ejercicio 7.4.