Qu'est-ce que « convergence absolue dans un espace de Banach » ?

Exemple 7.2

Dans $\mathcal{M}_n(K)$ (ou $\mathcal{L}_c(E)$, $E$ de Banach) : pour $\vertiii A < 1$, la série de Neumann $\sum A^k$ converge absolument vers $(I - A)^{-1}$ (démontré à l’Exercice 5.5) ; $\sum \frac{A^k}{k!}$ converge absolument vers $\eu^A$ pour tout $A$ (Exemple 5.22). Les séries géométrique et exponentielle à valeurs opérateurs se comportent comme leurs modèles scalaires — tout l’intérêt du cadre de Banach.

Exemple 7.4

$\sum \frac{\sin n}{n}$ converge : $a_n = \frac1n \downarrow 0$ et $B_n = \sum_{k=1}^{n} \sin k$ est bornée — en effet $B_n = \Im\sum_{k \leq n} \eu^{\iu k} = \Im\,\frac{\eu^{\iu}(\eu^{\iu n} - 1)}{\eu^{\iu} - 1}$, de module $\leq \frac{2}{\abs{\eu^{\iu} - 1}}$. Elle ne converge pas absolument ($\abs{\sin n} \geq \sin^2 n = \frac{1 - \cos 2n}{2}$, et $\sum \frac{1 - \cos 2n}{2n}$ diverge puisque $\sum \frac{\cos 2n}{n}$ converge par le même critère d’Abel tandis que $\sum \frac{1}{2n}$ diverge). Le critère spécial des séries alternées est le cas particulier $b_n = (-1)^n$.

Exemple 7.5 (Abel sur le cercle de convergence)

Pour quels complexes $z$ avec $\abs z = 1$ la série $\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$ converge-t-elle ? En $z = 1$, c’est la série harmonique : divergente. Pour $z \neq 1$ sur le cercle, le critère d’Abel s’applique avec $a_n = \frac1n \downarrow 0$ et $b_n = z^n$, dont les sommes partielles sont bornées indépendamment de $N$ :

Convergente — mais jamais absolument ($\sum\frac1n$). Une seule série, tout un cercle de comportements : divergence en un unique point, semi-convergence partout ailleurs. C’est le comportement au bord standard des séries entières (Chapitre 11), rencontré ici à mains nues ; en $z = -1$, on retrouve la série harmonique alternée, et en $z = \eu^{\iu\theta}$ ses parties réelle et imaginaire sont les séries $\sum\frac{\cos n\theta}{n}$ et $\sum\frac{\sin n\theta}{n}$ de l’Exercice 7.4.