ما معنى فعل زمرة؟ — الرياضيات

تعريف 1.8 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 1 — نظرية الزمر

فعل للزمرة $G$ على مجموعة $X$ هو تشاكل $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ إلى زمرة تقابلات $X$ ؛ ونكتب $g \cdot x$ بدل $\varphi(g)(x)$ . وبصيغة مكافئة: تطبيق $G \times X \to X$ يحقق $e \cdot x = x$ و $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ . ومدار النقطة $x$ هو $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ ، ومثبِّتها هو الزمرة الجزئية $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ ، و $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ هي مجموعة النقط الصامدة. ويكون الفعل متعدّيًا إذا وُجد مدار واحد لا غير، وأمينًا إذا كان $\varphi$ متباينًا، وحرًّا إذا كانت جميع المثبِّتات تافهة.

أمثلة

مثال 1.9

خمسة أفعال تدير نظرية الزمر المنتهية بأكملها:

فعل $G$ على نفسها عن طريق الانسحاب الأيسر $g \cdot x = gx$ : وهو حر ومتعدٍّ.
فعل $G$ على نفسها عن طريق الاقتران $g \cdot x = gxg^{-1}$ : مداراته هي أصناف الاقتران، ومثبِّتاته هي المُرَكِّزات $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ ، ونقطه الصامدة هي مركز الزمرة $Z(G)$ .
فعل $G$ على فضاء الصفوف المجاورة $G/H$ حسب القاعدة $g \cdot xH = gxH$ : وهو متعدٍّ، ومثبِّت الصف $H$ هو $H$ نفسها. وكل فعل متعدٍّ من هذا الشكل (التمرين 1.8).
فعل $G$ على مجموعة زمرها الجزئية بالاقتران: مثبِّت $H$ هو الناظِم $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ ، وهو أكبر زمرة جزئية من $G$ تكون $H$ ناظمية فيها.
فعل $S_n$ على $\intint{1}{n}$ : وهو أمّ الأمثلة جميعًا.

اقرأ في الفصل ←