ما معنى علاقة الترتيب؟

مثال 1.34

المجموعة $(\R, \leq)$ مرتّبة ترتيبًا كليًا. أمّا $(\mathcal{P}(E), \subseteq)$ فهي مرتّبة ترتيبًا جزئيًا بمجرد أن يكون للمجموعة $E$ عنصران: إذ إن $\{a\}$ و $\{b\}$ غير قابلين للمقارنة. والجزء $A = \{\{a\}, \{b\}\}$ من $\mathcal{P}(\{a,b\})$ ليس له عنصر أكبر، ومع ذلك له حاصر أعلى $\{a, b\}$: والتمييز بين العناصر الكبرى والحواصر العليا يعود، من أجل $\R$، في الفصل 10.

مثال 1.35 (ترتيبان على الشبكة $\N^2$)

على ثنائيات الأعداد الطبيعية نقارن مركّبةً مركّبةً: $(a, b) \preceq (a', b')$ عندما يكون $a \leq a'$ و $b \leq b'$ (ترتيب الجداء). وهذا ترتيب — إذ تُورَث كل بديهية إحداثيةً إحداثيةً — لكنه جزئيّ: فالثنائيتان $(1, 3)$ و $(2, 0)$ غير قابلين للمقارنة. والآن لنقارن كما يقارن المعجم: $(a, b) \preceq_{\mathrm{lex}} (a', b')$ عندما يكون $a < a'$، أو $a = a'$ و$b \leq b'$ (الترتيب المعجمي). ويقتضي التعدّي تحققًا من حالتين لكنه يصمد، وصار أيّ ثنائيتين قابلتين للمقارنة: فالترتيب كليّ. والترتيبان يرتّبان المجموعة نفسها ترتيبين مختلفين — فلدينا $(0, 100) \preceq_{\mathrm{lex}} (1, 0)$ في حين لا يقول ترتيب الجداء شيئًا — وهو تذكير بأن الترتيب بنيةٌ نختارها، لا خاصيةٌ للمجموعة. والمقارنة المعجمية هي كذلك الحيلة المعيارية لردّ عدة معايير للترتيب إلى معيار واحد.

مثال 1.7 (ترتيب المسوِّرات)

ترتيب المسوِّرات المختلفة مهمّ:

في العبارة الأولى يجوز أن يتعلق $y$ بالعنصر $x$؛ وفي الثانية يجب أن يفي $y$ واحد بعينه بالغرض لكل $x$. أمّا المسوِّران المتماثلان فيتبادلان موقعيهما دائمًا.