Apa itu Relasi urutan?

Contoh 1.34

$(\R, \leq)$ terurut total. $(\mathcal{P}(E), \subseteq)$ terurut parsial begitu $E$ mempunyai dua unsur: $\{a\}$ dan $\{b\}$ tak dapat dibandingkan. Himpunan bagian $A = \{\{a\}, \{b\}\}$ dari $\mathcal{P}(\{a,b\})$ tak mempunyai unsur terbesar, namun mempunyai batas atas $\{a, b\}$: pembedaan antara unsur terbesar dan batas atas muncul kembali, untuk $\R$, pada Bab 10.

Contoh 1.35 (Dua urutan pada kisi $\N^2$)

Pada pasangan bilangan cacah, bandingkan komponen demi komponen: $(a, b) \preceq (a', b')$ bila $a \leq a'$ dan $b \leq b'$ (urutan hasil kali). Ini memang urutan — setiap aksiomanya diwarisi koordinat demi koordinat — tetapi urutan parsial: $(1, 3)$ dan $(2, 0)$ tak terbandingkan. Kini bandingkan seperti kamus: $(a, b) \preceq_{\mathrm{lex}} (a', b')$ bila $a < a'$, atau $a = a'$ dan $b \leq b'$ (urutan leksikografis). Ketransitifannya menuntut pemeriksaan dua kasus tetapi tetap berlaku, dan kini setiap dua pasangan dapat dibandingkan: urutannya total. Kedua urutan itu memeringkat himpunan yang sama secara berbeda — $(0, 100) \preceq_{\mathrm{lex}} (1, 0)$ padahal urutan hasil kali tak berkata apa-apa — sebuah pengingat bahwa urutan adalah struktur yang kita pilih, bukan sifat dari himpunannya. Perbandingan leksikografis juga merupakan kiat baku untuk melebur beberapa kriteria pengurutan menjadi satu.

Contoh 1.7 (Urutan kuantor)

Urutan kuantor yang berlainan jenis itu penting:

Pada pernyataan pertama $y$ boleh bergantung pada $x$; pada yang kedua, satu $y$ harus berlaku untuk semua $x$. Sebaliknya, dua kuantor yang sejenis selalu dapat dipertukarkan.