1المنطق والمجموعات والتطبيقات

مثال 1.6 (نفي جمل رياضية مألوفة)

لتكن $f \colon \R \to \R$. تُكتب الجملة «$f$ متزايدة» هكذا

ونفيها، حسب القضية 1.5 وبالقاعدة $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$:

فيكفي زوج شاهد واحد. وبالمثل تُكتب «$f$ محدودة» $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$، ونفيها

مهما يكن الحاصر المقترح فثمّة نقطة تتجاوزه. والفكرة النافذة: لا يحتوي نفي صحيح قط على «ليس» مطبَّقة على كتلة مسوَّرة — بل هو عبارة إيجابية جديدة تتبادل فيها الأدوار: صار على المرء أن ينتج الشواهد التي كان يتلقّاها.

مثال 1.7 (ترتيب المسوِّرات)

ترتيب المسوِّرات المختلفة مهمّ:

في العبارة الأولى يجوز أن يتعلق $y$ بالعنصر $x$؛ وفي الثانية يجب أن يفي $y$ واحد بعينه بالغرض لكل $x$. أمّا المسوِّران المتماثلان فيتبادلان موقعيهما دائمًا.

مثال 1.8 (قراءة تعريف بثلاثة مسوِّرات)

الجملة «المتتالية $(u_n)$ تتقارب نحو $\ell$» ستُكتب في الفصل 11 هكذا

ونفيها، بتطبيق القضية 1.5 ثلاث مرات، هو

والقدرة على نفي جمل كهذه آليًا، دون التفكير في معناها، مهارة حقيقية: فهي تفصل العمل المنطقي عن العمل الرياضي.

مثال 1.11 (عكس النقيض والخلف في العمل)

ليكن $n \in \N$: إذا كان $n^2$ زوجيًا فإن $n$ زوجي. بعكس النقيض: إذا كان $n$ فرديًا، $n = 2k+1$، فإن $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$ فردي.

العدد $\sqrt 2$ أصمّ. بالخلف: نفترض أن $\sqrt 2 = p/q$ حيث $p, q \in \N^*$ والكسر في أبسط صورة. عندئذ $p^2 = 2q^2$ زوجي، فالعدد $p$ زوجي (بالنقطة السابقة)، $p = 2r$؛ ومنه $q^2 = 2r^2$ زوجي، فالعدد $q$ زوجي — وهذا يناقض كون الكسر في أبسط صورة.

مثال 1.13 (البرهان على الوجود الوحيد)

العبارة $\exists!\,x,\ P(x)$ عبارتان اثنتان، يُبرهن على كلٍّ منهما على حدة: الوجود (بإبراز أو إنشاء $x_0$ يحقق $P(x_0)$) والوحدانية (نفترض $P(x)$ و $P(x')$ ونستنتج $x = x'$). مثال على ذلك: يوجد عدد حقيقي وحيد $x$ يحقق $x^3 + x = 2$. الوجود: $x_0 = 1$ يفي بالغرض لأن $1 + 1 = 2$. الوحدانية: إذا كان $x^3 + x = x'^3 + x'$ فإن

والعامل الثاني موجب (فهو يساوي $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$)، ومنه $x = x'$. ولاحظ توزيع العمل: استعمل الوجود تخمينًا موفقًا، واستعملت الوحدانية جبرًا صالحًا لحلول كيفية — فلا تنوب إحدى الحجتين عن الأخرى، ونسيان النصف الثاني إغراء دائم بمجرد العثور على حلّ.

مثال 1.14

لكل $n \in \N^*$: $\;\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$. حالة البداية $n = 1$: الطرفان يساويان $1$. خطوة الانتقال: بافتراض الصيغة من أجل $n$،

مثال 1.15 (الاستقراء القوي في العمل)

كل عدد صحيح $n \geq 2$ جداءُ أعداد أولية (والعدد الأولي عدد صحيح $\geq 2$ قواسمه الوحيدة التي $\geq 1$ هي $1$ وهو نفسه؛ وتُدرس الأعداد الأولية لذاتها في الفصل 6). والاستقراء العادي عاجز هنا: فمعرفة أن $95 = 5 \times 19$ لا تقول شيئًا عن $96$. أمّا الاستقراء القوي فيلائم المقام تمامًا. حالة البداية: $2$ أوليّ، فهو إذن جداء أعداد أولية (بعامل واحد). خطوة الانتقال: ليكن $n \geq 2$ ولنفترض أن كل عدد صحيح $m$ يحقق $2 \leq m \leq n$ جداءُ أعداد أولية. إذا كان $n + 1$ أوليًا فقد انتهينا. وإلا فإن $n + 1 = ab$ مع $2 \leq a, b \leq n$؛ وبالفرض القوي يكون كلٌّ من $a$ و $b$ جداء أعداد أولية، فكذلك $n + 1$. والفكرة النافذة: الاستقراء القوي هو الأداة الصحيحة كلما كان «سبب» $P(n+1)$ قابعًا في رتبة سابقة لا يمكن التنبؤ بها، لا في الرتبة $n$.

مثال 1.17 (التآلف مع مجموعة الأجزاء)

من أجل $E = \{a, b\}$:

أربعة عناصر — ولاحظ انضباط الأنماط: $a \in E$ لكن $\{a\} \in \mathcal P(E)$؛ والعبارتان $a \in \mathcal P(E)$ و$\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ كاذبتان كما كُتبتا (إذ تقتضي الثانية أن يكون $a$ جزءًا من $E$). وبالانطلاق من لا شيء: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ له عنصر واحد، و$\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ له عنصران، والتالي له أربعة — فمجموعات المجموعات مجموعات عادية، وسيؤكد الفصل 2 نمط التضاعف: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$. والحفاظ على تمييز المستويات ($x$ و $\{x\}$ و $\{\{x\}\}$) نصف المعركة في تمارين مثل التمارين 1.11 و1.12.

مثال 1.22 (حساب الصور والصور العكسية)

لتكن $f \colon \R \to \R$، $x \mapsto x^2$. عندئذ:

من أجل الأولى: كل $x \in \intcc{-1}2$ يحقق $x^2 \in \intcc04$، وكل $y \in \intcc04$ يُبلغ على الصورة $y = (\sqrt y)^2$ حيث $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — ولاحظ أن الصورة ليست $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$: فصور المجالات لا تُحسب من الطرفين وحدهما. ومن أجل الثانية: $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$، وهذا ينقسم إلى قطعتين. وتوضح الثالثة أن الصورة العكسية قد تكون خالية — فالمجموعة $f^{-1}(B)$ ذات معنى دائمًا، مهما صغر تقاطع $B$ مع الصورة. وأخيرًا لاحظ على هذا المثال ظاهرة الاحتواء التام المذكورة في الملاحظة أعلاه: بأخذ $A = \intcc{-1}0$ و $A' = \intcc01$ نجد $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$، بينما $f(A) \cap f(A') = \intcc01$.

مثال 1.25 (حساب المقلوب عمليًا)

لتكن $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$، $f(x) = \eu^{2x+1}$. لقلبه نحلّ المعادلة $y = f(x)$ من أجل $y > 0$ معطى:

وكل خطوة قابلة للعكس على المجموعتين المعلنتين. ويعطي هذا الحساب كل شيء دفعة واحدة: فلكل $y$ من مجموعة الوصول حلٌّ واحد $x$ لا غير، فالتطبيق $f$ تقابليّ، و

والتحقق السريع من التركيبين ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ و $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) يؤكد معيار المبرهنة 1.24. والفكرة النافذة: «حُلَّ من أجل $x$ وراقب التكافؤات» هو في آن واحد برهان الوجود وبرهان الوحدانية والصيغة — لكنه لا يفلح إلا إذا أُعلنت مجموعة الوصول إعلانًا صحيحًا (فالتطبيق $f$ ليس شاملًا على $\R$).

مثال 1.27 (النقطة (2) دقيقة)

في القضية 1.26 (2) لا يمكن تقوية الاستنتاجين: فكون $g \circ f$ تقابليًا لا يفرض شمول $f$ ولا تباين $g$. خذ $E = G = \{1\}$، و$F = \{1, 2\}$، مع $f(1) = 1$ و $g(1) = g(2) = 1$: عندئذ $g \circ f = \mathrm{id}_E$ تقابليّ، ومع ذلك يفوت $f$ العنصر $2$ ويطوي $g$ العنصرين في واحد. والعبرة قاعدةُ محاسبة دقيقة: تنتقل معلومة التركيب إلى التطبيق الداخلي في مسألة التباين، وإلى التطبيق الخارجي في مسألة الشمول، ولا تنتقل قط في الاتجاه المعاكس. (ويبني التمرين 1.9 الظاهرة نفسها على مجموعات لا نهائية، حيث تكون المحرك وراء المقلوبات أحادية الجانب.)

مثال 1.28

التطبيق $f \colon \R \to \R$، $x \mapsto x^2$ ليس متباينًا ($f(-1) = f(1)$) ولا شاملًا (فالعدد $-1$ ليست له سابقة). وبتقييد مجموعة التعريف ومجموعة الوصول يصير $f \colon \R_+ \to \R_+$، $x \mapsto x^2$ تقابليًا، ومقلوبه $y \mapsto \sqrt y$. فتباين تطبيق أو شموله يتعلق بمجموعتي التعريف والوصول المعلنتين، لا بالصيغة وحدها.

مثال 1.30 (التحقق من البديهيات الثلاث)

على $\R$، نضع $x \mathbin{\mathcal{R}} y$ عندما يكون $x - y \in \Z$. انعكاسية: $x - x = 0 \in \Z$. تماثلية: إذا كان $x - y \in \Z$ فإن $y - x = -(x - y) \in \Z$. متعدّية: إذا كان $x - y \in \Z$ و $y - z \in \Z$ فإن $x - z = (x - y) + (y - z) \in \Z$ (مجموع عددين صحيحين). إذن $\mathcal R$ علاقة تكافؤ، و$\mathrm{cl}(x) = x + \Z = \{x + k : k \in \Z\}$: ويحتوي كل صف على ممثّل واحد بالضبط في $\intco01$، هو جزؤه الكسري. وعلى النقيض من ذلك فالعلاقة «$\abs{x - y} \leq 1$» على $\R$ انعكاسية وتماثلية لكنها غير متعدّية ($0 \mathbin{\mathcal R} 1$ و $1 \mathbin{\mathcal R} 2$، ومع ذلك $\abs{0 - 2} > 1$): فالقرب لا ينتشر، ولا وجود لأيّ تجزئة إلى صفوف — وهو مثال مضاد يحسن استحضاره حين يبدو التحقق من البديهيات أمرًا روتينيًا.

مثال 1.32

على $\Z$، التوافق بترديد $n$ (أي $x \equiv y \pmod n$ عندما يقسم $n$ الفرق $x - y$) علاقةُ تكافؤ؛ وصفوفها هي المجموعات $n$ المكوَّنة من الأعداد الصحيحة ذات باقٍ معطى عند القسمة على $n$. ويصير هذا المثال الحلقة $\Z/n\Z$ في الفصل 7.

مثال 1.34

المجموعة $(\R, \leq)$ مرتّبة ترتيبًا كليًا. أمّا $(\mathcal{P}(E), \subseteq)$ فهي مرتّبة ترتيبًا جزئيًا بمجرد أن يكون للمجموعة $E$ عنصران: إذ إن $\{a\}$ و $\{b\}$ غير قابلين للمقارنة. والجزء $A = \{\{a\}, \{b\}\}$ من $\mathcal{P}(\{a,b\})$ ليس له عنصر أكبر، ومع ذلك له حاصر أعلى $\{a, b\}$: والتمييز بين العناصر الكبرى والحواصر العليا يعود، من أجل $\R$، في الفصل 10.

مثال 1.35 (ترتيبان على الشبكة $\N^2$)

على ثنائيات الأعداد الطبيعية نقارن مركّبةً مركّبةً: $(a, b) \preceq (a', b')$ عندما يكون $a \leq a'$ و $b \leq b'$ (ترتيب الجداء). وهذا ترتيب — إذ تُورَث كل بديهية إحداثيةً إحداثيةً — لكنه جزئيّ: فالثنائيتان $(1, 3)$ و $(2, 0)$ غير قابلين للمقارنة. والآن لنقارن كما يقارن المعجم: $(a, b) \preceq_{\mathrm{lex}} (a', b')$ عندما يكون $a < a'$، أو $a = a'$ و$b \leq b'$ (الترتيب المعجمي). ويقتضي التعدّي تحققًا من حالتين لكنه يصمد، وصار أيّ ثنائيتين قابلتين للمقارنة: فالترتيب كليّ. والترتيبان يرتّبان المجموعة نفسها ترتيبين مختلفين — فلدينا $(0, 100) \preceq_{\mathrm{lex}} (1, 0)$ في حين لا يقول ترتيب الجداء شيئًا — وهو تذكير بأن الترتيب بنيةٌ نختارها، لا خاصيةٌ للمجموعة. والمقارنة المعجمية هي كذلك الحيلة المعيارية لردّ عدة معايير للترتيب إلى معيار واحد.