क्रम संबंध क्या है?

उदाहरण 1.34

$(\R, \leq)$ पूर्णतः क्रमित है। $(\mathcal{P}(E), \subseteq)$ तभी आंशिक रूप से क्रमित हो जाता है जब $E$ में दो अवयव हों: $\{a\}$ और $\{b\}$ तुलनीय नहीं हैं। $\mathcal{P}(\{a,b\})$ के उपसमुच्चय $A = \{\{a\}, \{b\}\}$ का कोई महत्तम अवयव नहीं है, फिर भी उसका एक ऊपरी परिबंध $\{a, b\}$ है: महत्तम अवयवों और ऊपरी परिबंधों का यह भेद $\R$ के लिए अध्याय 10 में लौटता है।

उदाहरण 1.35 (जाली $\N^2$ पर दो क्रम)

प्राकृत संख्याओं के युग्मों की घटक-दर-घटक तुलना कीजिए: $(a, b) \preceq (a', b')$ तब जब $a \leq a'$ और $b \leq b'$ (गुणन क्रम)। यह एक क्रम है — प्रत्येक अभिगृहीत निर्देशांक-दर-निर्देशांक विरासत में मिलता है — पर आंशिक: $(1, 3)$ और $(2, 0)$ अतुलनीय हैं। अब शब्दकोश की तरह तुलना कीजिए: $(a, b) \preceq_{\mathrm{lex}} (a', b')$ तब जब $a < a'$, या $a = a'$ और $b \leq b'$ (कोशीय क्रम)। संक्रमकता के लिए दो स्थितियों की जाँच चाहिए पर वह सत्य है, और अब कोई भी दो युग्म तुलनीय हैं: यह क्रम पूर्ण है। दोनों क्रम एक ही समुच्चय को भिन्न प्रकार से क्रमित करते हैं — $(0, 100) \preceq_{\mathrm{lex}} (1, 0)$, यद्यपि गुणन क्रम कुछ नहीं कहता — यह स्मरण दिलाता हुआ कि क्रम एक ऐसी संरचना है जिसे हम चुनते हैं, समुच्चय का गुणधर्म नहीं। कोशीय तुलना कई छँटाई-कसौटियों को एक में बदलने की मानक युक्ति भी है।

उदाहरण 1.7 (परिमाणकों का क्रम)

भिन्न परिमाणकों का क्रम महत्त्व रखता है:

पहले कथन में $y$ का $x$ पर निर्भर होना संभव है; दूसरे में एक ही $y$ को सभी $x$ के लिए काम करना होगा। दूसरी ओर, दो समान परिमाणक सदैव आपस में स्थान बदल सकते हैं।