क्रम संबंध क्या है? — गणित

परिभाषा 1.33 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 1 — तर्क, समुच्चय और प्रतिचित्रण

$E$ पर संबंध $\preceq$ क्रम तब कहलाता है जब वह स्वतुल्य, प्रतिसममित ( $x \preceq y$ और $y \preceq x$ से $x = y$ ) और संक्रमक हो। क्रम पूर्ण तब कहलाता है जब कोई भी दो अवयव तुलनीय हों, अन्यथा आंशिक। अवयव $M \in A \subseteq E$ $A$ का महत्तम अवयव तब कहलाता है जब सभी $a \in A$ के लिए $a \preceq M$ ; महत्तम (और न्यूनतम) अवयव, जब विद्यमान हों, अद्वितीय होते हैं।

उदाहरण

उदाहरण 1.34

$(\R, \leq)$ पूर्णतः क्रमित है। $(\mathcal{P}(E), \subseteq)$ तभी आंशिक रूप से क्रमित हो जाता है जब $E$ में दो अवयव हों: $\{a\}$ और $\{b\}$ तुलनीय नहीं हैं। $\mathcal{P}(\{a,b\})$ के उपसमुच्चय $A = \{\{a\}, \{b\}\}$ का कोई महत्तम अवयव नहीं है, फिर भी उसका एक ऊपरी परिबंध $\{a, b\}$ है: महत्तम अवयवों और ऊपरी परिबंधों का यह भेद $\R$ के लिए अध्याय 10 में लौटता है।

उदाहरण 1.35 (जाली $\N^2$ पर दो क्रम)

प्राकृत संख्याओं के युग्मों की घटक-दर-घटक तुलना कीजिए: $(a, b) \preceq (a', b')$ तब जब $a \leq a'$ और $b \leq b'$ (गुणन क्रम)। यह एक क्रम है — प्रत्येक अभिगृहीत निर्देशांक-दर-निर्देशांक विरासत में मिलता है — पर आंशिक: $(1, 3)$ और $(2, 0)$ अतुलनीय हैं। अब शब्दकोश की तरह तुलना कीजिए: $(a, b) \preceq_{\mathrm{lex}} (a', b')$ तब जब $a < a'$ , या $a = a'$ और $b \leq b'$ (कोशीय क्रम)। संक्रमकता के लिए दो स्थितियों की जाँच चाहिए पर वह सत्य है, और अब कोई भी दो युग्म तुलनीय हैं: यह क्रम पूर्ण है। दोनों क्रम एक ही समुच्चय को भिन्न प्रकार से क्रमित करते हैं — $(0, 100) \preceq_{\mathrm{lex}} (1, 0)$ , यद्यपि गुणन क्रम कुछ नहीं कहता — यह स्मरण दिलाता हुआ कि क्रम एक ऐसी संरचना है जिसे हम चुनते हैं, समुच्चय का गुणधर्म नहीं। कोशीय तुलना कई छँटाई-कसौटियों को एक में बदलने की मानक युक्ति भी है।

उदाहरण 1.7 (परिमाणकों का क्रम)

भिन्न परिमाणकों का क्रम महत्त्व रखता है:

\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{सत्य है (लीजिए } y = x+1\text{),}

\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{असत्य है (कोई वास्तविक संख्या सभी वास्तविक संख्याओं से बड़ी नहीं होती)।}

पहले कथन में $y$ का $x$ पर निर्भर होना संभव है; दूसरे में एक ही $y$ को सभी $x$ के लिए काम करना होगा। दूसरी ओर, दो समान परिमाणक सदैव आपस में स्थान बदल सकते हैं।

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