¿Qué es Relación de orden?

Ejemplo 1.34

$(\R, \leq)$ está totalmente ordenado. $(\mathcal{P}(E), \subseteq)$ está parcialmente ordenado en cuanto $E$ tiene dos elementos: $\{a\}$ y $\{b\}$ no son comparables. El subconjunto $A = \{\{a\}, \{b\}\}$ de $\mathcal{P}(\{a,b\})$ no tiene máximo, y sin embargo tiene una cota superior, $\{a, b\}$: la distinción entre máximos y cotas superiores reaparece, para $\R$, en el Capítulo 10.

Ejemplo 1.35 (Dos órdenes en la cuadrícula $\N^2$)

En los pares de naturales, se comparan componente a componente: $(a, b) \preceq (a', b')$ cuando $a \leq a'$ y $b \leq b'$ (el orden producto). Es un orden — cada axioma se hereda coordenada a coordenada — pero parcial: $(1, 3)$ y $(2, 0)$ son incomparables. Comparémoslos ahora como en un diccionario: $(a, b) \preceq_{\mathrm{lex}} (a', b')$ cuando $a < a'$, o bien $a = a'$ y $b \leq b'$ (el orden lexicográfico). La transitividad exige distinguir dos casos, pero se cumple, y ahora dos pares cualesquiera son comparables: el orden es total. Los dos órdenes ordenan el mismo conjunto de manera distinta — $(0, 100) \preceq_{\mathrm{lex}} (1, 0)$ aunque el orden producto no diga nada — lo que recuerda que un orden es una estructura que se elige, no una propiedad del conjunto. La comparación lexicográfica es además el truco habitual para reducir varios criterios de ordenación a uno solo.

Ejemplo 1.7 (Orden de los cuantificadores)

El orden de dos cuantificadores distintos importa:

En el primer enunciado, $y$ puede depender de $x$; en el segundo, un único $y$ debe servir para todo $x$. Dos cuantificadores iguales, en cambio, siempre conmutan.