حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى دالة درجية؟

تعريف 15.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 15 — التكامل على قطعة

تكون φ ⁣:[a, b]→R\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R دالة درجية إذا وُجدت تجزئة a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b تكون φ\varphi عليها ثابتة، مساوية cic_i، على كل فترة مفتوحة (xi−1, xi)\intoo{x_{i-1}}{x_i} (والقيم عند العقد غير مقيَّدة). وتكاملها هو

∫abφ=∑i=1nci (xi−xi−1),\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

وهو مستقل عن التجزئة المختارة (لطّف تجزئتين بتجزئتهما المشتركة: فلا يتغير أيّ طرف بالتلطيف).

أمثلة

مثال 15.5 (متصلة قطعةً قطعة، بلا دراما)

دالة الجزء الصحيح على [0, 3]\intcc{0}{3} دالة درجية متنكّرة: فبالقطع عند قفزاتها،

∫03⌊t⌋  ⁣dt=∫010+∫121+∫232=0+1+2=3,\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

والقيم عند نقطتَي القفز 1,21, 2 لا شأن لها: فتغيير دالة عند عدد منته من النقاط لا يغيّر أيّ تكامل (لأن الدوال الدرجية المؤطِّرة لا تتأثر). وهذا هو كل مضمون التمديد إلى «المتصلة قطعةً قطعة»: اقطع عند الانقطاعات المنتهية العدد، وكامل كل قطعة متصلة، ثم اجمع — أي شال تعريفًا.

مثال 15.6 (التعريف يحسب، مرة واحدة)

لتكن f(x)=xf(x) = x على [0, 1]\intcc{0}{1} واقطع إلى nn قطعة متساوية. وأفضل الدوال الدرجية الثابتة على القطع هي φ=k−1n\varphi = \frac{k-1}{n} و ψ=kn\psi = \frac kn على القطعة kk، مع

∫01φ=∑k=1nk−1n⋅1n=n−12n,∫01ψ=∑k=1nkn⋅1n=n+12n.\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

وكل تكامل أدنى هو ≤I−(f)≤I+(f)≤\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq كل تكامل أعلى، ومنه n−12n≤I−(f)≤I+(f)≤n+12n\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n} من أجل كل nn: فيُحصر كلاهما على 12\frac12، و ∫01x  ⁣dx=12\int_0^1 x\,\dd x = \frac12 مباشرةً من التعريف. والفكرة النافذة: هذه أول وآخر مرة نكامل فيها من التعريف — إذ تستبدل المبرهنة الأساسية أدناه بكل هذه الحسابات بحثًا واحدًا عن دالة أصلية، وهو كل الفائدة الاقتصادية لهذا الفصل.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة