تكون φ:[a,b]→R دالة درجية إذا وُجدت تجزئة a=x0<x1<⋯<xn=b تكون φ عليها ثابتة، مساوية ci، على كل فترة مفتوحة (xi−1,xi) (والقيم عند العقد غير مقيَّدة). وتكاملها هو
∫abφ=i=1∑nci(xi−xi−1),
وهو مستقل عن التجزئة المختارة (لطّف تجزئتين بتجزئتهما المشتركة: فلا يتغير أيّ طرف بالتلطيف).
أمثلة
مثال 15.5 (متصلة قطعةً قطعة، بلا دراما)
دالة الجزء الصحيح على [0,3] دالة درجية متنكّرة: فبالقطع عند قفزاتها،
∫03⌊t⌋dt=∫010+∫121+∫232=0+1+2=3,
والقيم عند نقطتَي القفز 1,2 لا شأن لها: فتغيير دالة عند عدد منته من النقاط لا يغيّر أيّ تكامل (لأن الدوال الدرجية المؤطِّرة لا تتأثر). وهذا هو كل مضمون التمديد إلى «المتصلة قطعةً قطعة»: اقطع عند الانقطاعات المنتهية العدد، وكامل كل قطعة متصلة، ثم اجمع — أي شال تعريفًا.
مثال 15.6 (التعريف يحسب، مرة واحدة)
لتكن f(x)=x على [0,1] واقطع إلى n قطعة متساوية. وأفضل الدوال الدرجية الثابتة على القطع هي φ=nk−1 و ψ=nk على القطعة k، مع
∫01φ=k=1∑nnk−1⋅n1=2nn−1,∫01ψ=k=1∑nnk⋅n1=2nn+1.
وكل تكامل أدنى هو ≤I−(f)≤I+(f)≤ كل تكامل أعلى، ومنه 2nn−1≤I−(f)≤I+(f)≤2nn+1 من أجل كل n: فيُحصر كلاهما على 21، و ∫01xdx=21 مباشرةً من التعريف. والفكرة النافذة: هذه أول وآخر مرة نكامل فيها من التعريف — إذ تستبدل المبرهنة الأساسية أدناه بكل هذه الحسابات بحثًا واحدًا عن دالة أصلية، وهو كل الفائدة الاقتصادية لهذا الفصل.
المدرب