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Matemáticas · Glosario

¿Qué es función escalonada?

Definición 15.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 15 — Integración en un segmento

φ ⁣:[a, b]→R\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R es una función escalonada cuando existe una subdivisión a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b tal que φ\varphi es constante, igual a cic_i, en cada intervalo abierto (xi−1, xi)\intoo{x_{i-1}}{x_i} (los valores en los nodos no están sujetos a restricción). Su integral es

∫abφ=∑i=1nci (xi−xi−1),\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

independiente de la subdivisión elegida (refínense dos subdivisiones por la común: cada miembro queda invariante al refinar).

Ejemplos

Ejemplo 15.5 (Continua a trozos, sin dramas)

La función parte entera en [0, 3]\intcc{0}{3} es una función escalonada disfrazada: partiendo en sus saltos,

∫03⌊t⌋  ⁣dt=∫010+∫121+∫232=0+1+2=3,\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

y los valores en los puntos de salto 1,21, 2 son irrelevantes: cambiar una función en finitos puntos no cambia ninguna integral (las funciones escalonadas del encuadre no se ven afectadas). Ese es todo el contenido de la extensión «continua a trozos»: córtese en las finitas discontinuidades, intégrese cada trozo continuo y súmese — Chasles como definición.

Ejemplo 15.6 (La definición calcula, una vez)

Sea f(x)=xf(x) = x en [0, 1]\intcc{0}{1} y córtese en nn trozos iguales. Las mejores funciones escalonadas constantes en los trozos son φ=k−1n\varphi = \frac{k-1}{n} y ψ=kn\psi = \frac kn en el kk-ésimo trozo, con

∫01φ=∑k=1nk−1n⋅1n=n−12n,∫01ψ=∑k=1nkn⋅1n=n+12n.\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Toda integral inferior es ≤I−(f)≤I+(f)≤\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq que toda superior, luego n−12n≤I−(f)≤I+(f)≤n+12n\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n} para todo nn: las dos se aprietan sobre 12\frac12, y ∫01x  ⁣dx=12\int_0^1 x\,\dd x = \frac12 sale directamente de la definición. La idea de cierre: esta es la primera y la última vez que integramos a partir de la definición — el teorema fundamental de más abajo sustituye todos esos cálculos por una consulta de primitiva, que es todo el sentido económico de este capítulo.

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