सोपान फलन क्या है? — गणित

परिभाषा 15.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 15 — खंड पर समाकलन

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ सोपान फलन तब है जब कोई उपविभाजन $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ ऐसा हो कि $\varphi$ प्रत्येक खुले अंतराल $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ पर अचर, $c_i$ के बराबर, हो (गाँठों पर मान अप्रतिबंधित हैं)। उसका समाकल है

\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

जो चुने हुए उपविभाजन से स्वतंत्र है (दो उपविभाजनों को उनके उभयनिष्ठ उपविभाजन से सूक्ष्म कीजिए: सूक्ष्मीकरण से दोनों पक्ष अपरिवर्तित रहते हैं)।

उदाहरण

उदाहरण 15.5 (खंडशः संतत, बिना किसी नाटक के)

$\intcc{0}{3}$ पर फ़र्श फलन वेश बदला सोपान फलन है: उसकी कूदों पर तोड़ने से,

\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

और कूद-बिंदुओं $1, 2$ पर के मान निरर्थक हैं: परिमित कितने बिंदुओं पर फलन बदलने से कोई समाकल नहीं बदलता (घेरने वाले सोपान फलन अप्रभावित रहते हैं)। “खंडशः संतत” वाले विस्तार की पूरी सामग्री यही है: परिमित कितने असांतत्यों पर काटिए, प्रत्येक संतत टुकड़े को समाकलित कीजिए, जोड़ दीजिए — शाल परिभाषा के रूप में।

उदाहरण 15.6 (परिभाषा एक बार संगणना करती है)

$\intcc{0}{1}$ पर $f(x) = x$ लीजिए और उसे $n$ समान टुकड़ों में काटिए। टुकड़ों पर अचर सर्वोत्तम सोपान फलन $k$ -वें टुकड़े पर $\varphi = \frac{k-1}{n}$ और $\psi = \frac kn$ हैं, जहाँ

\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

प्रत्येक निचला समाकल हर ऊपरी से $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ है, अतः सभी $n$ के लिए $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ : दोनों $\frac12$ पर दब जाते हैं, और सीधे परिभाषा से $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ । समापन का सार: परिभाषा से समाकलन हम पहली और अंतिम बार कर रहे हैं — नीचे की मूल प्रमेय ऐसी सभी संगणनाओं के स्थान पर एक प्रतिअवकलज खोज रख देती है, और इस अध्याय का पूरा आर्थिक प्रयोजन यही है।

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