Semua buku

Profesional

Aplikasi Tentang Pelatih Masuk Mulai membaca

Matematika · Glosarium

Apa itu fungsi tangga?

Definisi 15.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 15 — Pengintegralan pada Sebuah Ruas

Fungsi φ ⁣:[a, b]→R\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R disebut fungsi tangga bila ada partisi a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b sedemikian sehingga φ\varphi konstan, yang sama dengan cic_i, pada setiap selang terbuka (xi−1, xi)\intoo{x_{i-1}}{x_i} (adapun nilainya di simpulnya tak dibatasi). Adapun integralnya adalah

∫abφ=∑i=1nci (xi−xi−1),\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

yang tak bergantung pada partisi yang dipilih (haluskanlah dua partisi lewat partisi bersamanya: karena kedua ruasnya tak berubah oleh penghalusan).

Contoh

Contoh 15.5 (Kontinu sepotong-sepotong, tanpa drama)

Fungsi lantai pada [0, 3]\intcc{0}{3} merupakan fungsi tangga yang menyamar: karena dengan memecahnya di lompatannya,

∫03⌊t⌋  ⁣dt=∫010+∫121+∫232=0+1+2=3,\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

dan nilainya di titik lompatannya 1,21, 2 tak relevan: karena mengubah sebuah fungsi di titik yang berhingga banyak tak mengubah integralnya (sebab fungsi tangga pengapitnya tak terpengaruh). Inilah seluruh isi perluasan “kontinu sepotong-sepotong” itu: potonglah di titik ketakkontinuannya yang berhingga banyak, integralkanlah setiap keping yang kontinu, lalu jumlahkan — jadi Chasles sebagai definisi.

Contoh 15.6 (Definisinya menghitung, sekali)

Misalkan f(x)=xf(x) = x pada [0, 1]\intcc{0}{1} lalu potonglah menjadi nn keping yang sama. Adapun fungsi tangga terbaik yang konstan pada kepingnya adalah φ=k−1n\varphi = \frac{k-1}{n} dan ψ=kn\psi = \frac kn pada keping ke-kk, dengan

∫01φ=∑k=1nk−1n⋅1n=n−12n,∫01ψ=∑k=1nkn⋅1n=n+12n.\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Setiap integral bawahnya ≤I−(f)≤I+(f)≤\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq setiap yang atasnya, sehingga n−12n≤I−(f)≤I+(f)≤n+12n\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n} untuk setiap nn: jadi keduanya terapit menuju 12\frac12, dan ∫01x  ⁣dx=12\int_0^1 x\,\dd x = \frac12 langsung dari definisinya. Inti gagasan penutupnya: bahwa inilah pertama dan terakhir kalinya kita mengintegralkan dari definisinya — karena teorema fundamental di bawah mengganti semua perhitungan semacam itu dengan satu pencarian antiturunan, dan itulah seluruh inti ekonomi bab ini.

Baca dalam konteks →

Istilah terkait