Over GitHub Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is trapfunctie?

Definitie 15.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 15 — Integratie op een segment

φ ⁣:[a, b]→R\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R heet een trapfunctie wanneer er een verdeling a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b bestaat waarvoor φ\varphi constant is, gelijk aan cic_i, op elk open interval (xi−1, xi)\intoo{x_{i-1}}{x_i} (de waarden in de knooppunten zijn vrij). Haar integraal is

∫abφ=∑i=1nci (xi−xi−1),\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

onafhankelijk van de gekozen verdeling (verfijn twee verdelingen tot hun gemeenschappelijke verdeling: elk van beide leden blijft bij verfijning ongewijzigd).

Voorbeelden

Voorbeeld 15.5 (Stuksgewijs continu, geen drama)

Het gehele deel op [0, 3]\intcc{0}{3} is een vermomde trapfunctie: door in zijn sprongen te splitsen krijgen we

∫03⌊t⌋  ⁣dt=∫010+∫121+∫232=0+1+2=3,\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

en de waarden in de sprongpunten 1,21, 2 doen er niet toe: een functie in eindig veel punten wijzigen verandert geen enkele integraal (de omsluitende trapfuncties blijven onaangetast). Dat is de hele inhoud van de uitbreiding “stuksgewijs continu”: snijd in de eindig veel discontinuïteiten, integreer elk continu stuk, tel op — Chasles als definitie.

Voorbeeld 15.6 (De definitie rekent, eenmalig)

Zij f(x)=xf(x) = x op [0, 1]\intcc{0}{1} en snijd in nn gelijke stukken. De beste trapfuncties die constant zijn op de stukken, zijn φ=k−1n\varphi = \frac{k-1}{n} en ψ=kn\psi = \frac kn op het kk-de stuk, met

∫01φ=∑k=1nk−1n⋅1n=n−12n,∫01ψ=∑k=1nkn⋅1n=n+12n.\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Elke onderste integraal is ≤I−(f)≤I+(f)≤\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq elke bovenste, dus n−12n≤I−(f)≤I+(f)≤n+12n\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n} voor alle nn: beide worden op 12\frac12 samengeknepen, en ∫01x  ⁣dx=12\int_0^1 x\,\dd x = \frac12 rechtstreeks uit de definitie. Het afsluitende inzicht: dit is de eerste en de laatste keer dat we uit de definitie integreren — de hoofdstelling hieronder vervangt al zulke berekeningen door het opzoeken van één primitieve, en dat is het hele economische punt van dit hoofdstuk.

Lees in het hoofdstuk →

Verwante begrippen