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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « fonction en escalier » ?

Définition 15.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 15 — Intégration sur un segment

φ ⁣:[a, b]→R\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R est une fonction en escalier lorsqu’il existe une subdivision a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b telle que φ\varphi soit constante, égale à cic_i, sur chaque intervalle ouvert (xi−1, xi)\intoo{x_{i-1}}{x_i} (les valeurs aux nœuds sont quelconques). Son intégrale est

∫abφ=∑i=1nci (xi−xi−1),\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),

indépendante de la subdivision choisie (on raffine deux subdivisions par leur subdivision commune : chaque membre est inchangé par raffinement).

Exemples

Exemple 15.5 (Continue par morceaux, sans drame)

La fonction partie entière sur [0, 3]\intcc{0}{3} est une fonction en escalier déguisée : en coupant à ses sauts,

∫03⌊t⌋  ⁣dt=∫010+∫121+∫232=0+1+2=3,\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,

et les valeurs aux points de saut 1,21, 2 n’ont aucune importance : modifier une fonction en un nombre fini de points ne change aucune intégrale (les fonctions en escalier qui l’encadrent n’en sont pas affectées). C’est tout le contenu de l’extension « continue par morceaux » : couper aux discontinuités, en nombre fini, intégrer chaque morceau continu, additionner — Chasles comme définition.

Exemple 15.6 (La définition calcule, une fois)

Soit f(x)=xf(x) = x sur [0, 1]\intcc{0}{1}, découpé en nn morceaux égaux. Les meilleures fonctions en escalier constantes sur les morceaux sont φ=k−1n\varphi = \frac{k-1}{n} et ψ=kn\psi = \frac kn sur le kk-ième morceau, avec

∫01φ=∑k=1nk−1n⋅1n=n−12n,∫01ψ=∑k=1nkn⋅1n=n+12n.\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} .

Toute intégrale inférieure est ≤I−(f)≤I+(f)≤\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq à toute intégrale supérieure, donc n−12n≤I−(f)≤I+(f)≤n+12n\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n} pour tout nn : les deux sont enserrées sur 12\frac12, et ∫01x  ⁣dx=12\int_0^1 x\,\dd x = \frac12 directement à partir de la définition. L’idée à retenir : c’est la première et la dernière fois que nous intégrons à partir de la définition — le théorème fondamental ci-dessous remplace tous ces calculs par la lecture d’une primitive, ce qui est tout l’intérêt économique de ce chapitre.

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