Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

16Funciones holomorfas

La diferenciabilidad compleja parece una pequeña variación de la Teoría real: un límite, un cociente. Es en cambio un universo diferente. Una función diferenciable una vez en un el subconjunto abierto de $\C$ es automáticamente diferenciable infinitamente, analítico, determinado en un dominio completo por sus valores cerca de un punto único y limitado por principios globales rígidos (Liouville, módulo máximo). Todo esto fluye de uno milagro, el teorema de Cauchy: la integral de un holomorfo función a lo largo de un camino cerrado en un dominio en forma de estrella desaparece. Este capítulo prueba el milagro (el argumento de Goursat, sin regularidad asumida más allá de la diferenciabilidad), cosecha su consecuencias clásicas y establece un teorema que este libro tiene utilizado a crédito desde Capítulo 4: cada no constante polinomio complejo tiene raíz.

En todo momento, $\Omega \subseteq \C$ está abierto y $D(a, r)$ denota el disco abierto.

16.1 Diferenciabilidad compleja

Definición 16.1

$f \colon \Omega \to \C$ es holomorfo en $\Omega$ si por cada $z_0 \in \Omega$

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

existe ( $h \in \C^*$ ). Sumas, productos, cocientes (que no desaparecen denominadores), las composiciones de funciones holomorfas son holomorfa, con las fórmulas habituales (las pruebas del año 1-2 son textualmente: sólo utilizan operaciones de campo y límites). $\mathcal H(\Omega)$ denota el conjunto de funciones holomorfas. en $\Omega$ .

Proposición 16.2 (Cauchy–Riemann)

Escribe $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ . Entonces $f$ es holomorfo en $z_0$ si $f$ es $\R$ -diferenciable en $z_0$ (como una aplicación de dos variables reales) y

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{at } z_0 ;

de manera equivalente, el diferencial real es la multiplicación por el número complejo $f'(z_0)$ .

Demostración. $\C$ -diferenciabilidad dice $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ con $c = f'(z_0)$ : un diferencial lineal $\R$ que es multiplicación por $c = a + \iu b$ , es decir tiene matriz $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ en la base $(1, \iu)$ — exactamente las relaciones mostradas para los parciales. Por el contrario, tal El diferencial es $\C$ -lineal y las definiciones $o(\abs h)$ partido. ∎

Ejemplo 16.3

Polinomios en $z$ , funciones racionales fuera de sus polos y — por el teorema de diferenciación término por término para el poder del año 2 serie, cuya prueba funciona de manera idéntica sobre $\C$ — cada suma de una potencia serie $\sum a_n(z - a)^n$ dentro de su disco de convergencia: holomorfo, con derivada $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (mismo radio). En particular $\exp z = \sum z^n/n!$ está completo (holomorfo en $\C$ ) con $\exp' = \exp$ . en el por otro lado $z \mapsto \bar z$ , $\abs z$ , $\operatorname{Re}z$ no están en ninguna parte holomorfo (Cauchy-Riemann falla en todas partes): holomorfia es rigidez que preserva la orientación y el ángulo, no suavidad.

16.2 Integrales de contorno

Definición 16.4

Un camino es una aplicación $\mathcal C^1$ por partes $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ ; es cerrado si $\gamma(a) = \gamma(b)$ . Para continuo $f$ en la imagen de $\gamma$ :

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(el Desigualdad de AA; longitud $= \int_a^b\abs{\gamma'}$ ). La integral es invariante al aumentar $\mathcal C^1$ . reparametrización y cambios de signo bajo inversión de orientación.

Proposición 16.5 (Primitivos)

Para continuo $f$ en $\Omega$ , lo siguiente es equivalente: (i) $f$ tiene un primitivo $F \in \mathcal H(\Omega)$ ( $F' = f$ ); (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ por cada camino cerrado $\gamma$ en $\Omega$ . En ese caso $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ por cada camino.

Demostración. (i) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (regla de la cadena, válida por partes), por lo que el telescopios integrales hasta la diferencia del punto final; cerrado caminos dar $0$ . (ii) $\Rightarrow$ (i): corrija $z_*$ en un conectado componente, defina $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ junto con cualquier camino de $z_*$ a $z$ (bien definido: dos caminos se diferencian por un cerrado camino); para $h$ pequeño, tomando el segmento de $z$ a $z + h$ ,

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

por la desigualdad ML y continuidad de $f$ en $z$ . ∎

Definición 16.6 (Número de bobinado)

Para un camino $\gamma$ y $z \notin \operatorname{im}\gamma$ cerrado, el índice es

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

Es un entero: configurando $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ , la función $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ tiene derivada cero (por partes), por lo tanto es constante; en $t = b$ , $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , entonces $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ . En función de $z$ , el índice es continuo en $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergencia dominada), por lo tanto, constante en cada componente conectado y $0$ en el componente ilimitado (ML: la integral tiende a $0$ como $z \to \infty$ ). Para el círculo $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ para $z \in D(a,r)$ (calcular en $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; la constancia hace el resto).

16.3 teorema de cauchy

Teorema 16.7 (goursat)

Dejemos que $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $T \subseteq \Omega$ a triángulo sólido cerrado. Entonces $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (el límite se ejecuta una vez, cualquier orientación).

Demostración. Vamos $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ . Uniendo los puntos medios de los lados divide $T$ en cuatro triángulos de tamaño medio $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ , y los bordes internos se cancelan en pares: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ . Elija $T_1$ entre ellos con $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ , e iterar: un anidado secuencia $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ con

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

La intersección $\bigcap T_n$ es un solo punto $z_0$ (compactos anidado con diámetros de fuga, Teorema 6.13(3)). Diferenciabilidad en $z_0$ : dado $\varepsilon$ , para $n$ grande, en $T_n$ ,

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

La parte afín tiene una primitiva: su integral en la cerrada. $\partial T_n$ desaparece (Proposición 16.5), saliendo

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

Comparando con $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ : $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{const}$ por cada $\varepsilon$ : $I(T) = 0$ . ∎

Teorema 16.8 (Teorema de Cauchy, versión en forma de estrella)

Sea $\Omega$ en forma de estrella sobre $c$ (cada segmento $[c, z]$ , $z \in \Omega$ , se encuentra en $\Omega$ ) — p.ej. convexo. Cada $f \in \mathcal H(\Omega)$ tiene una primitiva en $\Omega$ ; en consecuencia $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ para cada cerrado camino $\gamma$ en $\Omega$ .

Demostración. Defina $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ . Para $z, z + h \in \Omega$ con $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (verdadero para $h$ pequeño), el triángulo con vértices $c, z, z+h$ se encuentra en $\Omega$ (forma de estrella: cada una de sus puntas se encuentra en un segmento $[c, w]$ con $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ ): Goursat da

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

y el cálculo del cociente de diferencias de Proposición 16.5 produce $F' = f$ . el La desaparición de las integrales camino cerrado se deriva del mismo propuesta. ∎

Teorema 16.9 (Fórmula integral de Cauchy)

Deje que $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ y $C_r$ ejecuten el círculo $\partial D(a,r)$ una vez. en sentido antihorario. Luego por cada $z \in D(a, r)$ :

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

Demostración. Repare $z$ y defina en $\Omega$

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

$g$ es continuo en $\Omega$ y holomorfo en $z$ . goursat se cumple para $g$ en cada triángulo $T \subseteq \Omega'$ , donde $\Omega'$ es un disco ligeramente más grande que $\bar D(a,r)$ en el interior $\Omega$ : si $z \notin T$ , directamente; si $z \in T$ , dividir $T$ en triángulos pequeños que tienen $z$ como vértice más triángulos evitando $z$ ; en un triángulo con vértice $z$ el límite ML da $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ a medida que el triángulo se encoge, y las piezas restantes desaparecen por Goursat — por lo tanto $\int_{\partial T}g = 0$ en todos los casos. la prueba de Teorema 16.8 usó solo este triángulo propiedad: $g$ tiene una primitiva en el $\Omega'$ convexo, por lo que $\int_{C_r}g = 0$ , es decir

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 La analiticidad y su cascada.

Teorema 16.10 (análisis holomorfo $=$ )

Sean $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $D(a, R) \subseteq \Omega$ . Entonces

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{on } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

siendo los coeficientes independientes de $r$ . En consecuencia $f$ es infinitamente $\C$ -diferenciable, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ , y el Estimaciones de Cauchy espera:

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

Demostración. Para $\abs{z - a} < r$ : expanda el núcleo de Cauchy en el serie geométrica

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

normalmente convergente en $w$ en $C_r$ ( $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ): integra término por término contra $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (la convergencia uniforme justifica la intercambio) y aplicar Teorema 16.9. un La serie de potencias es infinitamente diferenciable con $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (Año 2), lo que también muestra que $c_n$ no Depende de $r$ . Las estimaciones: acotado el coeficiente integral por ML. ∎

Ejemplo 16.11 (Las singularidades dictan las radios.)

¿Por qué la inocente función real $\frac1{1 + x^2}$ tiene un ¿Las series de Taylor en $x = 3$ convergen solo para $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ , cuando nada sale mal en la línea real? porque el teorema anterior hace que el radio de convergencia sea $a$ igual a la distancia desde $a$ hasta el punto más cercano donde holomorfia falla. Aquí $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ está holomorfo exactamente en $\C\setminus\{\pm\iu\}$ , por lo que el la expansión en $a = 3$ converge en el disco más grande evitando $\pm\iu$ , de radio $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — y no puede converger en uno mayor, ya que la suma se extendería $f$ holomorficamente a un entorno de $\pm\iu$ , donde $\abs f \to \infty$ . La verdadera teoría ve lo misterioso. radio $\sqrt{10}$ ; el plano complejo ve dos polos. Esta es la regla práctica: para encontrar un radio de convergencia, localizar las singularidades — por ejemplo la Taylor serie de $\tan$ en $0$ tiene radio $\frac\pi2$ (más cercano ceros de $\cos$ ), y la función generadora de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (Problema 16.1, Parte VI) tiene radio $2\pi$ (ceros distintos de cero más cercanos de $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$ ).

Corolario 16.12 (Liouville; d’Alembert–Gauss)

Una función entera acotada es constante. En consecuencia cada polinomio no constante sobre $\C$ tiene una raíz: $\C$ is algebraicamente cerrado.

Demostración. Si $\abs f \leq M$ en $\C$ : por cada $a$ y $r$ , $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : $f' \equiv 0$ y $f$ son constante (en el conectado $\C$ : derivada cero implica localmente constante — integrar a lo largo de segmentos). Si $P$ no tuviera raíz, $1/P$ sería completo y acotado ( $\abs{P(z)} \to \infty$ como $\abs z \to \infty$ : el término principal domina, por lo que $\abs{1/P}$ es pequeño fuera de un disco grande y continuo en el disco compacto): constante — absurdo para $P$ no constante. (El problema del fin de semana ofrece una segunda prueba elemental y el algebraico consecuencias.) ∎

Teorema 16.13 (Los ceros están aislados; teorema de identidad)

Sea $\Omega$ conectado y $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $f \not\equiv 0$ . Entonces cada cero $a$ de $f$ tiene finito orden: $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ con $g \in \mathcal H(\Omega)$ , $g(a) \neq 0$ y los ceros de $f$ tienen sin punto de acumulación en $\Omega$ . En consecuencia, si dos funciones holomorfas en $\Omega$ acuerdan un conjunto con un punto de acumulación en $\Omega$ , están de acuerdo en todas partes.

Demostración. Sea $Z$ el conjunto de puntos donde todas las derivadas de $f$ desaparecer. $Z$ es cerrado (intersección de conjuntos cerrados) y abierto: si todo $c_n = 0$ está en $a$ , la expansión de la serie de potencias hace que $f \equiv 0$ en un disco sea alrededor de $a$ . Conectividad: $Z = \varnothing$ o $Z = \Omega$ ; este último está excluido por $f \not\equiv 0$ . Entonces, en un $a$ cero, algún coeficiente es distinto de cero: dejemos que $m$ sea mínimo con $c_m \neq 0$ ; luego $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ en un disco, y la suma define $g$ holomorfo cerca de $a$ con $g(a) = c_m \neq 0$ ; extienda $g = f/(z-a)^m$ fuera de $a$ (holomorfo allí). desde $g(a) \neq 0$ y $g$ es continuo, $f$ no tiene otro cero en a entorno de $a$ : los ceros están aislados y un conjunto de puntos aislados no tiene punto de acumulación en $\Omega$ (un el punto de acumulación de ceros es un cero — continuidad — y no estaría aislado). Identidad: aplicar a la diferencia, cuyo conjunto cero tiene un punto de acumulación, obligándolo a entrar en el Rama $Z = \Omega$ . ∎

Teorema 16.14 (Valor medio y módulo máximo)

Deje $f \in \mathcal H(\Omega)$ .

(Valor medio) Para $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ .
(Principio máximo) Si $\Omega$ es conectado y $\abs f$ alcanza un máximo local en algún punto de $\Omega$ , entonces $f$ es constante. En consecuencia, para $\Omega$ acotado y $f$ continuo en $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ .

Demostración. (1) es la fórmula de Cauchy en centro: parametrizar $C_r$ . (2) Diga $\abs f \leq \abs{f(a)}$ en $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ . Si $f(a) = 0$ , $f \equiv 0$ cerca de $a$ . De lo contrario, para $0 < r \leq \rho$ , el valor medio da

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

el integrando no negativo continuo $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ tiene media cero, por lo tanto desaparece: $\abs f$ es constante $= \abs{f(a)} \ne 0$ en el disco. Un holomorfo función de módulo constante distinto de cero en un disco es constante: diferenciar $P^2 + Q^2 = \text{const}$ da $PP_x + QQ_x = 0$ y $PP_y + QQ_y = 0$ ; sustituyendo el Cauchy-Riemann relaciones $P_y = -Q_x$ , $Q_y = P_x$ en la segunda ecuación produce el sistema lineal

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

cuyo determinante es $P^2 + Q^2 \neq 0$ : $P_x = Q_x = 0$ , entonces $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ en el disco: $f$ constante allí. el El teorema de identidad extiende la constancia a todo $\Omega$ . La forma límite: $\abs f$ alcanza su sup en el compacto $\bar\Omega$ ; un interior máximo hace que $f$ sea constante y la sup se alcanza en el límite en todos los casos. ∎

Teorema 16.15 (Teorema de convergencia de Weierstrass)

Si $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ converge a $f$ uniformemente en cada subconjunto compacto de $\Omega$ , luego $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en compactos, por cada $k$ .

Demostración. $f$ es continuo. Para cualquier triángulo cerrado $T \subseteq \Omega$ : $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (convergencia uniforme en el compacto $\partial T$ ; Goursat para $f_n$ ). Por el argumento de Teorema 16.8, $f$ tiene primitivas locales (los discos son convexos; sólo el triángulo se utilizó la propiedad), es decir, $f = F'$ localmente con $F$ holomorfo; $F$ es analítico (Teorema 16.10), por lo tanto también lo es $f = F'$ : holomorfo. (Esto es Morera’s teorema: continuo con desaparición integrales de triángulo implica holomorfo.) Derivadas: para $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ y $z \in \bar D(a, r)$ , Fórmula de Cauchy para derivadas (diferenciar Teorema 16.9 bajo la integral, o uso la fórmula del coeficiente) da

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

uniformemente en $\bar D(a,r)$ ; cubrir un compacto por un número finito dichos discos e iterar para obtener $k$ superior. ∎

Fórmula de Cauchy: los valores de un función holomorfa adentro un disco es un promedio ponderado de sus valores en el círculo delimitador. Todo rígido sobre holomorfia — analiticidad, Liouville, el principio máximo — se desarrolla desde esta identidad. — Fórmula de Cauchy: los valores de un función holomorfa *adentro* un disco es un promedio ponderado de sus valores en el círculo delimitador. Todo rígido sobre holomorfia — analiticidad, Liouville, el principio máximo — se desarrolla desde esta identidad.

Método 16.16

El kit de herramientas diario. Para probar una función holomorfo: exhibirla como una serie de potencias, una composición, un límite localmente uniforme (Teorema 16.15), o una integral con parámetro holomorfo (Ejercicio 16.7 — diferenciar bajo $\int$ o aplicar Morera–Fubini). para probar identidades: pruébelas en un segmento o subdominio e invoque El teorema de la identidad. Para encuadernar: Estimaciones de Cauchy en el círculo más grande disponible. Para probar constancia/inexistencia: Liouville o el principio de máxima. Siempre sé dónde su función es holomorfo y los discos cual encajan $\Omega$ .

16.5 Ceremonias

Ejercicio 16.1 ★

(a) ¿En qué puntos se encuentran $z \mapsto \bar z$ , $\abs z^2$ , $\operatorname{Re}z$ ¿diferenciable complejo? holomorfo en un conjunto abierto? (b) Demuestre que $P(x, y) = x^2 - y^2$ es la parte real de un función holomorfa en $\C$ , encontrado explícitamente y determinar todo de ellos.

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

(a) $\bar z$ : $P = x$ , $Q = -y$ , por lo que $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : en ninguna parte $\C$ -diferenciable. $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ , $Q = 0$ : Cauchy–Riemann exige $2x = 0 = 2y$ : diferenciable en $0$ solo — y holomorfo en ninguna parte (no conjunto abierto). $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : en ninguna parte.

(b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ funciona. Todas las soluciones: si $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ con $f, g$ holomorfo en conectado $\C$ , entonces $h = f - g$ tiene $\operatorname{Re}h = 0$ ; Cauchy–Riemann da $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : $h$ es un imaginario constante. Respuesta: $f(z) = z^2 + \iu c$ , $c \in \R$ .

Ejercicio 16.2 ★

Calcule a partir de las definiciones: $\int_{C}z^n\,\dd z$ para todos los $n \in \Z$ , $C$ el círculo unitario; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ junto el segmento $[0, 1+\iu]$ y a lo largo del segmento de dos camino hasta $1$ : concluir que $\bar z$ no tiene primitivas en ningún entorno de estos caminos.

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

En el círculo unitario $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ :

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

Para $\bar z$ : junto con $[0, 1+\iu]$ , $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ . Junto a $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ . Diferentes valores entre los mismos puntos finales: por Proposición 16.5, $\bar z$ no tiene primitiva en cualquier conjunto abierto que contenga ambos caminos.

Ejercicio 16.3 ★★

(a) Demuestre que el logaritmo principal $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) es holomorfo en $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ con derivado $\frac1z$ (primitive of $\frac1z$ on the star-shaped cut plane: Teorema 16.8; fix the constant). (b) Demuestre que no existe ningún logaritmo continuo en $\C^*$ (its derivative-free obstruction: the índice of the unit circle). (c) Expanda $\log(1 + z)$ en series de potencias en $D(0,1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

(a) El plano de corte $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ es en forma de estrella sobre $1$ y $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : Teorema 16.8 proporciona un $L$ primitivo con $L(1) = 0$ . Luego $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : $z = c\,\eu^{L(z)}$ con $c = 1$ (en $z = 1$ ). Escritura $L = u + \iu v$ : $\abs z = \eu^u$ y $z = \abs z\eu^{\iu v}$ con $v$ continuo, $v(1) = 0$ , $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ( $v$ es un argumento continuo de $z$ en el conectado $\Omega$ , por lo que su imagen evita los extraños múltiplos de $\pi$ — ningún punto de $\Omega$ se encuentra en $\R_-$ — y, que contiene $v(1) = 0$ , se queda en $\intoo{-\pi}\pi$ : $v$ es el argumento principal): $L = \log$ .

(b) Si $g$ fuera un logaritmo continuo en $\C^*$ : $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ satisface $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ , entonces $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ , y por continuidad $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ para un entero fijo $k$ . Luego $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ y $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : contradicción.

(c) En $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — ambos lados desaparecen en $0$ y tienen derivado $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (Ejemplo 16.3); una primitiva es única a una constante en el disco conectado.

Ejercicio 16.4 ★★

(a) Sea $f$ completo con $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ . Demuestre que $f$ es un polinomio de grado $\leq n$ (Estimaciones de Cauchy on large circles). (b) Sea $f$ completo con $\operatorname{Re}f$ acotado arriba. Demuestre que $f$ es la constante (consider $\eu^{f}$ ). (c) Deducir el “pequeño Picard para mapas afines”: todo un La función que omite un semiplano es constante.

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

(a) Ampliar en $0$ (radio $\infty$ ): por Estimaciones de Cauchy en $C_r$ , $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ como $r \to \infty$ para $k > n$ : $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ .

(b) Si $\operatorname{Re}f \leq M$ : $g = \eu^f$ está completo con $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante por Liouville. Entonces $g' = f'g = 0$ con $g$ no desaparece: $f' = 0$ y $f$ es constante.

(c) Si $f$ omite el semiplano $H$ , una aplicación afín $w \mapsto \alpha w + \beta$ envía $\C\setminus H$ a $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ; aplicar (b) a $\alpha f + \beta$ .

Ejercicio 16.5 ★★

(a) Sea $f$ holomorfo en un conectado $\Omega \ni 0$ con $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ para todos los grandes $n$ . Determinar $f$ . (b) ¿Algunos holomorfo $f$ en $\C^*$ satisfacen $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ para todos $n \geq 1$ ? Justificar. (c) Anexo dos funciones holomorfas distintos en $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ acordando $D(0,1)$ : ¿de dónde viene el ¿Utiliza el teorema de identidad conectividad?

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

(a) $g(z) = f(z) - z^2$ desaparece en los puntos $\frac1n$ , que se acumulan en $0 \in \Omega$ : por el teorema de identidad ( $\Omega$ conectado), $g \equiv 0$ : $f(z) = z^2$ .

(b) Sí: $f(z) = z\cos(\pi/z)$ es holomorfo en $\C^*$ (composición) y $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ . No hay contradicción con (a): la acumulación ¿Pertenece el punto $0$ de los nodos de interpolación no? $\C^*$ , por lo que el teorema de identidad no dice nada — dos funciones ( $z\cos(\pi/z)$ y, digamos, la de otro interpolación) pueden compartir estos valores.

(c) $f \equiv 0$ en todas partes, versus $g = 0$ en $D(0,1)$ y $g = 1$ en $D(3,1)$ : holomorfo en la unión desconectada, igual en $D(0,1)$ , diferente. El teorema de la identidad El argumento abierto-cerrado necesita conectividad para propagarse desde uno. componente al otro — y no puede.

Ejercicio 16.6 ★★

Sea $f$ holomorfo en el disco de la unidad abierta $\mathbb D$ , continuo en $\bar{\mathbb D}$ , con $\abs f \equiv 1$ en el círculo límite. (a) Si $f$ no tiene cero en $\mathbb D$ , muestre que $f$ es constante (aplicar el principio del máximo a $f$ y a $1/f$ ). (b) Dé un ejemplo con un cero donde $f$ no sea constante.

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

a) Por el principio de máxima aplicado en el dominio acotado: $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ . Como $f$ no tiene ceros, $1/f$ es holomorfo en $\mathbb D$ , continuo en cierre, con módulo límite $1$ : igualmente $\abs{1/f} \leq 1$ , es decir $\abs f \geq 1$ . Entonces $\abs f \equiv 1$ : el módulo alcanza un máximo interior, y Teorema 16.14(2) fuerza a $f$ constante.

(b) $f(z) = z$ : módulo límite $1$ , cero en el origen, no constante — el cero es exactamente lo que bloquea el $1/f$ argumento.

Ejercicio 16.7 ★★

(Holomorfia bajo la integral) Sea $\mu$ un medida finito en un espacio $X$ y $g \colon X\times\Omega \to \C$ con: $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ para cada $x$ , $g$ mensurable en $x$ y $\abs g \leq h(x)$ con $h$ integrable, localmente de manera uniforme en $z$ . Mostrar $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ es holomorfo en $\Omega$ . (Morera: triangle integrals vanish by Fubini and Goursat; continuidad by dominated convergence. Then apply to $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ on $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

Continuidad de $G$ : convergencia dominada con dominador $h$ (cota localmente uniforme). Holomorfia de Morera (establecido dentro de Teorema 16.15): por un triángulo cerrado $T$ en un disco donde $\abs g \leq h$ ,

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

el intercambio por Fubini ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) y La desaparición interior de Goursat. Para $\Gamma$ : en la tira $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ( $0 < a \leq b$ ), $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ , integrable en $\intoo0{+\infty}$ : $\Gamma$ está en holomorfo. $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (el medida es sólo $\sigma$ -finito, pero el argumento sólo necesita el integrable dominador). Según el teorema de la identidad, la ecuación funcional $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ , probado en $\intoo0{+\infty}$ (Ejemplo 10.16), sujeta el semiplano completo.

Ejercicio 16.8 ★★★

(Gauss–Lucas) Sea $P \in \C[X]$ no constante. mostrar eso cada raíz de $P'$ se encuentra en la cáscara convexa de las raíces de $P$ . (Write $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ at a root $z$ of $P'$ that is not a root of $P$ , take conjugates, and read a convex combination.) Ilustrar en $P = z^3 - 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

Escribe $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (Problema 16.1). Deje $P'(z) = 0$ . Si $P(z) = 0$ , entonces $z$ es uno de los $a_k$ : en el casco. De lo contrario, el derivada logarítmica da

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

conjugando, $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ con $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ , un convexo combinación de las raíces. Para $P = z^3 - 1$ : enraíza el cubo raíces de la unidad, $P' = 3z^2$ con doble raíz $0$ — el centroide del triángulo equilátero.

Ejercicio 16.9 ★★★

Sea $f$ entero y doblemente periódico: $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$ . Demuestre que $f$ es constante. (Bound $f$ on the compacto fundamental square, then everywhere; Liouville.) Moraleja: las funciones elípticas no constantes deben tener polos — el tema de Capítulo 17.

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

El cuadrado unitario cerrado $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ es compacto: $M = \sup_K\abs f < \infty$ . Cada $z \in \C$ difiere de un punto de $K$ por un elemento de $\Z + \iu\Z$ (resta partes enteras), y $f$ es invariante bajo esos traducciones (iterar las dos relaciones): $\abs f \leq M$ en $\C$ . Liouville: $f$ es constante. Por lo tanto, cualquier no constante función meromórfica doblemente periódica — la elíptica funciones de la teoría clásica — deben tener polos.

Ejercicio 16.10 ★★

(a) Demuestre que $P = \operatorname{Re}f$ de un holomorfo $f$ satisface la propiedad de valor medio $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ y es armónico: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (diferenciar Cauchy–Riemann; utilizar Teorema 16.10 para obtener la suavidad necesaria). (b) Deduzca el principio máximo para partes reales de holomorfo funciones en dominios acotados.

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

(a) Tome partes reales en la fórmula del valor medio (Teorema 16.14(1)). Suavidad: $f$ es analítico, entonces $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; diferenciando Cauchy–Riemann: $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (simetría de Schwarz de segundas derivadas): $\Delta P = 0$ .

(b) Si $\operatorname{Re}f$ alcanzó un máximo de interior en un conectado $\Omega$ : $g = \eu^f$ tiene $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ alcanzando un máximo de interior, por lo que $g$ , por lo tanto $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ , es constante (Teorema 16.14(2)). En un dominio acotado con continuidad hasta el límite, $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ .

Ejercicio 16.11 ★★★

(Reflexión de Schwarz) Dejemos que $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ , $I = \intoo{-1}1$ y $f$ holomorfo en $\Omega^+$ , continuo en $\Omega^+\cup I$ , valor real en $I$ . Definir

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(a) Demuestre que $F$ está bien definido y continuo en $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ y holomorfo en $\Omega^\pm$ (for $\Omega^-$ : check Cauchy–Riemann for $\overline{f(\bar z)}$ , or expand $f$ in local power series and conjugate coefficients). (b) Demuestre que $F$ es holomorfo en todo $\Omega$ mediante Criterio de Morera: $\int_{\partial T}F = 0$ para cada triángulo $T \subseteq \Omega$ (split triangles at $I$ and push their horizontal sides off the axis by $\varepsilon$ , using uniform continuidad). (c) Deducir: a función holomorfa en el disco, real en un diámetro, satisface $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ; y un función holomorfa no constante no puede tener un valor real en cualquier subconjunto abierto no vacío de su dominio (conectado).

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

(a) Las dos fórmulas coinciden en $I$ ( $z = \bar z$ y $f$ reales allí: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ ), y $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ está continuo en $\Omega^-\cup I$ como una composición de mapas continuos: $F$ es continuo en $\Omega$ . Holomorfia en $\Omega^-$ : cerca de $z_0 \in \Omega^-$ , expandir $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ cerca $\bar z_0 \in \Omega^+$ ; entonces

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

una serie de potencias convergentes: holomorfo.

(b) Los triángulos que evitan $I$ son manejados por Goursat en $\Omega^\pm$ . Para un triángulo que coincida con $I$ , córtelo por el real eje en como máximo tres triángulos/cuadriláteros, cada uno con un lado en $I$ ; para tal pieza $P$ contenida en, digamos, $\overline{\Omega^+}$ , el integral de contorno es el límite como $\varepsilon \to 0^+$ de la integral sobre tipo $P + \iu \varepsilon$ se traduce (uniforme continuidad de $F$ en la pieza compacto hace converger las integrales de frontera, la lado en $I$ siendo abordado desde arriba), y cada uno traduce se encuentra en $\Omega^+$ donde Goursat da $0$ . Sumando el piezas: $\int_{\partial T}F = 0$ . Morera (el criterio dentro de Teorema 16.15): $F$ es holomorfo en $\Omega$ .

(c) En el disco, $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ es holomorfo según el cálculo de (a) y está de acuerdo con $f$ en el diámetro, un conjunto con puntos de acumulación: $G = f$ en todas partes (teorema de identidad). Si $f$ fuera real en un conjunto abierto no vacío $U$ : en $U$ ambos parciales de $Q = \operatorname{Im}f$ desaparecen, y Cauchy-Riemann transfiere esto a $P = \operatorname{Re}f$ ( $P_x = Q_y = 0$ , $P_y = -Q_x = 0$ ), por lo que $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ en $U$ : $f$ es constante en $U$ , de ahí en todas partes por el teorema de la identidad ( $\Omega$ conectado).

Ejercicio 16.12 ★★

(La compleja ecuación pitagórica) Encuentra todos los pares de completo funciona con $f^2 + g^2 = 1$ . (a) Demuestre que $h = f + \iu g$ es completo y libre de ceros, y que cada función completa libre de cero es $\eu^{\varphi}$ para algunos $\varphi$ ( $h'/h$ is entire, hence has a primitive on the star-shaped $\C$ ; adjust the constant and show $h\eu^{-\varphi}$ is constant) completos. (b) Concluir $f = \cos\varphi$ , $g = \sin\varphi$ con $\varphi$ completo y verifique lo contrario. ¿Cuáles son los soluciones completas de $f^2 + g^2 = 0$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

(a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ , por lo que $h = f + \iu g$ nunca desaparece (su cofactor tendría que explotar). Para $h$ completo sin cero: $h'/h$ es completo y $\C$ es tiene forma de estrella, por lo que tiene una primitiva $\varphi_0$ (Teorema 16.8); entonces $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ con $c \neq 0$ , y absorbiendo una constante $\log c$ en $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (cualquier logaritmo complejo de $c$ ): $h = \eu^{\varphi}$ .

(b) Con $h = \eu^{\varphi}$ y $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ :

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

Escribiendo $\varphi = \iu\psi$ con $\psi = -\iu\varphi$ completos, estos dicen $f = \cos\psi$ , $g = \sin\psi$ : el Las soluciones completas son exactamente los pares $(\cos\psi, \sin\psi)$ con $\psi$ completos, y lo contrario es el identidad $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . Para $f^2 + g^2 = 0$ : $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ en el dominio integral $\mathcal H(\C)$ ( $\C$ conectado: cero los divisores violarían el teorema de identidad): $g = \pm\iu f$ con $f$ entero arbitrario.

16.6 Problema: el teorema fundamental del álgebra, dos veces

Problema 16.1

Problema de fin de semana — $\C$ es algebraicamente cerrado: la prueba de d’Alembert, la prueba de Liouville y la cosecha

Sea $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ , $n \geq 1$ . Probamos dos veces que $P$ tiene una raíz, luego recopilamos qué álgebra ha estado esperando desde Capítulo 4.

Parte I — Coercivity and the minimum.

Mostrar que $\abs{P(z)} \to +\infty$ como $\abs z \to \infty$ : precisamente, $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ Para $\abs z \geq R_0$ adecuado.
Deduzca que $\abs P$ alcanza un mínimo global en $\C$ : hay $z_0$ con $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (compactness of a large closed disc, Corolario 6.17).

Parte II — d’Alembert’s descent. Supongamos, por contradicción, $P(z_0) \neq 0$ .

Expande $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ como un polinomio en $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ con $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ , $S$ un polinomio.
Elige la dirección de descenso: para pequeños $t > 0$ , establezca $h = t\,\omega$ donde $\omega^k = -1/c_k$ (por qué ¿Existe tal $\omega$ ? — probar el existencia de $k$ -ésima raíz de cualquier número complejo a través de forma polar, independientemente de que el teorema sea demostrado). Mostrar

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$

para $t$ pequeño, con una constante explícita $C$ .
Concluir $\abs{Q(t\omega)} < 1$ para pequeños $t$ — contradiciendo la minimalidad de $\abs{P(z_0)}$ . Por lo tanto $P(z_0) = 0$ : cada complejo no constante polinomio tiene una raíz (d’Alembert–Argand).

Parte III — Liouville’s one-liner, in full.

Escriba cuidadosamente la prueba de Corolario 16.12: si $P$ no tiene raíz, verifique que $1/P$ esté completo, acotado (cuantificar, usando la pregunta 1), por lo tanto constante, y concluimos. Compara las dos pruebas: ¿qué ingredientes tiene cada uno? utilizar? (La compacidad aparece en ambos — ¿dónde?)

Parte IV — The harvest.

Demuestre que cada $P \in \C[X]$ de grado $n$ se divide: $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ con $\sum m_i = n$ (induction, Euclidean division by $(X - \alpha)$ ).
Demuestre que los polinomios irreducible de $\R[X]$ son las lineales y las cuadráticas con negativos discriminante (par de raíces conjugadas); deducir que todo polinomio real de grado impar tiene un real raíz, y dar una segunda prueba teórica de orden de ese último hecho (teorema del valor intermedio) — comprobando que están de acuerdo con $X^3 - X - 1$ .
Deduzca las deudas que este libro puede pagar ahora: (i) cada endomorfismo de una dimensión finita distinta de cero $\C$ -el espacio vectorial tiene un valor propio, por lo que todo complejo la matriz tiene un forma jordana (Teorema 3.18); (ii) el campo $\bar\Q$ de algebraico números utilizados en Observación 4.10 es de hecho un cierre algebraico de $\Q$ .
(Final) Identifique dónde se dividiría cada prueba en un campo como $\Q(\iu)$ : qué pasos utilizan la existencia de $k$ -ésimas raíces (pregunta 4), y que utilizan compacidad o lo completo (preguntas 2 y 6)? Concluir en cinco líneas: el teorema es genuinamente analítico — cada prueba en algún lugar invoca el lo completo o conectividad de $\R$ — aunque su declaración sea puramente algebraico.

Part V — The rigidity ladder of entire functions. Liouville es el primer peldaño de una escalera; subimos eso.

(Estimaciones de Cauchy) De la fórmula de Cauchy en el círculo de radio $r$ alrededor de $a$ , demuestre

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

y recuperar a Liouville como el caso $n = 1$ , $r \to \infty$ .
(Crecimiento polinómico) Demuestre que un $f$ completo con $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ para todos $z$ es un polinomio de grado $\leq m$ (mata al taylor coeficientes más allá de $m$ con la pregunta 11).
(Parte real acotada) Muestra que un $f$ completo con $\operatorname{Re}f$ acotado arriba es constante (apply Liouville to $\eu^{f}$ ).
(Doble periodicidad) Sea $f$ completo con $f(z + 1) = f(z)$ y $f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$ . Mostrar $f$ es constante. Conclusión: una "elíptica" no constante función debe tener singularidades — el histórico Los polacos entran en un análisis complejo.
(rango denso) Demuestre que el rango de una constante toda la función es densa en $\C$ : si $f(\C)$ pierde un disco $D(a, r)$ , entonces $\frac1{f - a}$ está completo y acotado. (Picard demostró que el alcance falla como máximo un punto; densidad es el nivel de nuestras herramientas. alcanzar.)
(polinomio $\Rightarrow$ adecuado) Supongamos que $f$ es completo y $\abs{f(z)} \to \infty$ como $\abs z \to \infty$ . Mostrar: los ceros de $f$ son finitos en número ( $z_1, \dots, z_p$ , con multiplicidades $m_i$ ); el el cociente $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ es entero y libre de cero; $1/g$ tiene crecimiento polinomial, por lo tanto (pregunta 12) es un polinomio, necesariamente constante (libre de cero); concluya que $f$ es un polinomio. entonces entre funciones enteras, los polinomios son exactamente los mismos los adecuados — $\eu^z$ falla en la propiedad $\R_-$ .

Part VI — Harmonic shadows and a mean value of Gauss.

Sea $f = u + \iu v$ holomorfo en un conjunto abierto. Verifique que $u = \operatorname{Re}f$ cumpla con los propiedad de valor medio

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

(parte real de la fórmula de Cauchy), y deducir la principio máximo para $u$ en un dominio acotado, con la misma prueba conectividad que para $\abs f$ .
(Valor medio de Gauss) Para $a \in \C$ y $r > 0$ con $\abs a \neq r$ , probar

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(if $\abs a > r$ : $z \mapsto \log\abs{a - z}$ is the real part of a holomorfo logarithm on a entorno of the closed disc — why does one exist? — so question 17 applies; if $\abs a < r$ : factor $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ and reuse the first case).
(Mahler medida) Para $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ , deduzca la fórmula de jensen para polinomios:

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

la media geométrica de $\abs P$ en el círculo unitario lee las raíces fuera del disco. Verifique en $P = X^2 - X$ y en $P = 2X - 1$ .
(Números de Bernoulli) Defina los coeficientes $B_n$ por $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ cerca de $0$ (¿por qué el lado izquierdo es analítico en $0$ ?). Deducir la recurrencia $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) de $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ , calcule $B_0, \dots, B_6$ y muestre $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ (the function $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ is even). Estos números valorarán cada $\zeta(2k)$ en Capítulo 17.
(Realidad) Muestra que una función completa toma real los valores en $\R$ satisfacen $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ en todas partes (compare Taylor coefficients at $0$ , or apply the identity theorem to $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ ); deducir de nuevo que las raíces no reales de polinomios reales entran pares conjugados (emparejamiento de la pregunta 8, reprobado analíticamente).
(La moraleja) Armar la escalera de rigidez: acotada $\Rightarrow$ constante; acotado polinomialmente Polinomio $\Rightarrow$ ; adecuado $\Rightarrow$ polinomio; falta un disco constante $\Rightarrow$ ; Constante doblemente periódica $\Rightarrow$ . Contraste en un párrafo corto con $\mathcal C^\infty$ real funciones (funciones de golpe, Teorema 12.9): ¿por qué holomorfia, una condición puramente local, se impone global ley y orden?

Part VII — Last harvest.

(desigualdad de Landau) Para $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ , demostrar el valor medio $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (ortogonalidad de la $\eu^{\iu k\theta}$ ), luego, usando el límite puntual $\log t \leq t - 1$ para comparar las medias de $\log\abs P^2$ y $\abs P^2$ , deducir de la pregunta 19 que

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

el producto de las raíces fuera del disco unitario es controlado por el tamaño $\ell^2$ de los coeficientes (maneje las raíces on del círculo aplicando el desigualdad a $P(rX)$ y dejando $r \to 1$ ). comprobar en $X^2 - X$ .
(los números de Bernoulli crecen factorialmente) Demuestre que El radio de convergencia de $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ es exactamente $2\pi$ : al menos $2\pi$ porque $z/(\eu^z - 1)$ extiende holomorficamente a $D(0, 2\pi)$ , como máximo $2\pi$ porque la suma sería de lo contrario, permanezca limitado cerca de $2\pi\iu$ , donde $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ . deducir

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

Los números de Bernoulli crecen factorialmente. Admitiendo $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (la recurrencia de la pregunta 20, ejecutar más), comparar $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ con la predicción más nítida $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ en $k = 6$ — cuatro dígitos coincidentes de una ley asintótica que Capítulo 17 probar exactamente, a través de $\zeta(2k)$ .
(Las raíces se mueven continuamente) Dejemos que $(P_j)$ sea monic de grado $n$ con coeficientes convergentes a los de (mónico) $P$ . Pruebe el Cauchy obligado: cada raíz de un monic $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ satisface $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ ; deducir que las raíces del $P_j$ permanecen en un lugar fijo compacto establecido y, extrayendo convergente subsecuencias de vectores raíz y pasando a la límite en la factorización de la pregunta 7, que el Los conjuntos múltiples raíz de $P_j$ convergen al de $P$ . Demuestra finalmente que continuidad es lo mejor que se puede digamos: para $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ , una perturbación de tamaño $\varepsilon = 10^{-4}$ mueve la raíz doble $1$ por $10^{-2}$ — Hëxponente más antiguo $\frac1m$ en una raíz $m$ veces mayor, nunca Lipschitz: numéricamente, las raíces múltiples cuestan la mitad de los dígitos.

Solución

Solución de Problema 16.1.

1. Para $\abs z \geq 1$ :

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

para $\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ , $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ .

2. Elija $R \geq R_0$ con $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ . En el compacto $\bar D(0, R)$ el continuo $\abs P$ alcanza un mínimo, en algún momento $z_0$ ; afuera, $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : el el mínimo es global.

3. $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ es un polinomio en $h$ con $Q(0) = 1$ ; no es constante ( $P$ lo es), por lo que algunos el coeficiente más allá de la constante es distinto de cero: $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ con $k \geq 1$ mínimo, $c_k \neq 0$ , $S \in \C[X]$ .

4. Raíces: cualquier $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ tiene la $k$ -ésima raíz $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ , donde $\rho^{1/k}$ existe según el teorema del valor intermedio aplicado a $t \mapsto t^k$ en $\intco0\infty$ — sin circularidad. Elija $\omega$ con $\omega^k = -1/c_k$ . entonces

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

con $C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ (nota $1 - t^k \geq 0$ en $\intcc01$ ).

5. Para $0 < t < \min(1, 1/C)$ : $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ , es decir $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — contradice la minimalidad global. entonces $P(z_0) = 0$ : d’Alembert–la prueba de Argand es completo.

6. Versión Liouville: si $P$ nunca desaparece, $1/P$ está entero; por pregunta 1, $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ afuera $\bar D(0, R_0)$ y $1/P$ es continuo en ese compacto disco, por lo tanto limitado allí también: limitado entero, tan constante (Corolario 16.12), haciendo que $P$ sea constante: absurdo. Ingredientes: d’Alembert utiliza compacidad (existencia del mínimo) y la existencia en forma polar de raíces $k$ -ésima; Liouville utiliza todo el aparato de Cauchy (Goursat — en sí mismo un argumento compactos anidados — y el cauchy estimaciones) más la misma coercitividad. Compacidad de cerrado. Los discos son el núcleo común irreducible.

7. Si es $\deg P \geq 1$ , elija una raíz $\alpha$ (preguntas 5); dividir: $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ , con $\deg Q = n - 1$ ; instalar. Agrupación igual factores: $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ , $\sum m_i = n$ .

8. De verdad $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , y las multiplicidades coinciden (conjugar la factorización): las raíces no reales vienen en pares, contribuyendo $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ , una cuadrática real con discriminante $< 0$ . De ahí la lista indicada de irreductibles, y un polinomio real de grado impar, que tiene un número par de raíces no reales, debe tener una real. directo prueba: $P(x) \to \pm\infty$ como $x \to \pm\infty$ (grado impar, coeficiente principal positivo, digamos), por lo que $P$ cambia de signo, y se aplica el teorema del valor intermedio. Para $X^3 - X - 1$ : ambos argumentos dan la única raíz real $\approx 1.3247$ (y un par conjugado).

9. (i) $\chi_u \in \C[X]$ no es constante: tiene una raíz $\lambda$ y $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ da un vector propio; la maquinaria divisoria elemental de Teorema 3.18 se aplica entonces a cualquier complejo. matriz, $\chi$ siempre dividiéndose. (ii) Sea $P \in \bar\Q[X]$ ser no constante. Como polinomio sobre $\C$ tiene una raíz $z \in \C$ ; $z$ es algebraico sobre $\bar\Q$ , por lo tanto, sobre $\Q$ por transitividad (Corolario 4.5), entonces $z \in \bar\Q$ : cada polinomio no constante sobre $\bar\Q$ tiene un raíz en $\bar\Q$ .

10. Sobre $\Q(\iu)$ , la pregunta 4 ya falla: $k$ -ésima raíz no necesita existir (no $\sqrt2$ ), e incluso otorgando raíces, la pregunta 2 falla — no es necesario una secuencia minimizadora convergen, $\Q$ carece de lo completo; en la ruta de Liouville, Los triángulos compacto anidados de Goursat tienen una intersección vacía más de $\Q(\iu)$ puntos. Ambas pruebas consumen el lo completo. (de manera equivalente, a través de la convergencia monótona acotada, el integridad del pedido) de $\R$ ; conectividad alimenta el Teorema del valor intermedio detrás de la forma polar. la declaración “ $\C$ es algebraicamente cerrado” es álgebra; cada conocido prueba de ello es el análisis introducido de contrabando a través de la definición de $\R$ .

11. Por Teorema 16.10 en $a$ , $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ con

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

el Estimaciones de Cauchy, en el formulario mostrado después multiplicando por $n!$ . Si $\abs f \leq M$ en $\C$ : por cada $a$ y cada $r$ , $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ como $r \to \infty$ , por lo que $f' \equiv 0$ y $f$ son constantes en el conectado $\C$ — Liouville se recuperó.

12. Expandir $f = \sum_kc_kz^k$ en $0$ (radio $\infty$ ). Para $k > m$ : $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ como $r \to \infty$ , entonces $c_k = 0$ : $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ es un polinomio de grado como máximo $m$ .

13. $g = \eu^f$ está completo con $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante por pregunta 11. Luego $0 = g' = f'g$ con $g$ sin cero: $f' = 0$ y $f$ es constante.

14. Deje $M = \sup_K\abs f$ en compacto cerrado unidad cuadrada $K$ . Cada $z$ se diferencia de un punto de $K$ en un elemento de $\Z + \iu\Z$ (restar partes enteras), y iterando las dos relaciones de periodicidad deja $f$ sin cambios: $\abs f \leq M$ en todo $\C$ y pregunta 11 hace que $f$ sea constante. Entonces una función no constante invariante debajo de la red no puede ser entera: las funciones elípticas de la teoría clásica debe llevar polos: el histórico puerta de enlace a Capítulo 17.

15. Si $f(\C)$ pierde el disco $D(a, r)$ , entonces $\abs{f(z) - a} \geq r$ para todos los $z$ , por lo que $g = 1/(f - a)$ es entero con $\abs g \leq 1/r$ : constante de Liouville, por lo tanto $f$ constante. Contrapositivo: el rango de una no constante toda la función cumple con cada disco — es denso en $\C$ .

16. Elija $R$ con $\abs f \geq 1$ afuera $D(0, R)$ . Los ceros de $f$ se encuentran en el compacto. $\bar D(0, R)$ ; si fueran infinitos, se acumularían allí, y Teorema 16.13 forzaría a $f \equiv 0$ — imposible. Llámalos $z_1, \dots, z_p$ , con multiplicidades $m_1, \dots, m_p$ , ponga $M = \sum m_i$ y $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ . Factorizando cada cero de la serie de potencias, $g = f/\Pi$ es completa y libre de ceros. Para $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ : $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ y $\abs f \geq 1$ , entonces $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; en el restante compacto El disco $1/g$ es continuo, por lo que está limitado: $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ en todas partes. Según la pregunta 12, $1/g$ es un polinomio; es libre de cero, por lo que en la pregunta 7 es un Constante distinta de cero $c$ : $f = \frac1c\Pi$ es un polinomio. Por el contrario, la pregunta 1 hace que todo polinomio no constante adecuado. Y $\eu^z$ está honestamente excluido: junto con $\R_-$ , $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ mientras que $\abs z \to \infty$ .

17. Parametrizar Teorema 16.9 en el centro: con $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ , $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ ,

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

tomar partes reales da la propiedad del valor medio de $u$ . si $u$ alcanza un máximo en un punto interior del conectado $\Omega$ : $\abs{\eu^f} = \eu^u$ alcanza un máximo interior, entonces $\eu^f$ es constante por Teorema 16.14(2) y $u = \log\abs{\eu^f}$ son constantes. En un dominio acotado con continuidad hasta el límite, $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ , exactamente como para $\abs f$ .

18. Case $\abs a > r$ . Elija $R$ con $r < R < \abs a$ : en el disco convexo $D(0, R)$ la función $a - z$ es holomorfo y libre de cero, y $z \mapsto -1/(a - z)$ tiene una primitiva $L$ allí (Teorema 16.8); después de ajustar la constante, $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ da $\eu^L = a - z$ : existe un logaritmo holomorfo y $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ . Pregunta 17 Propiedad de valor medio en $0$ , radio $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

Case $\abs a < r$ . De $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ , la media es igual a $\log r$ más la media de $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ . La sustitución $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ , luego — escribiendo $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ , $\rho < 1$ , siendo el caso $a = 0$ trivial — el cambio $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (ambos conservan las medias durante un período) convierten esto en la media de $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : el primer caso con $(a, r) = (1, \rho)$ , lo que da $\log 1 = 0$ . Totales: $\log r = \log\max(\abs a, r)$ en ambos casos.

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ , cada raíz repetido por su multiplicidad; promediando en $\theta$ y aplicando la pregunta 18 con $r = 1$ a cada raíz de la unidad el círculo produce $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ . Cheques. Para $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ la fórmula predice $\log 2$ ; directamente, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ y la media de $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ es $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : media $\log 2$ . Para $P = X^2 - X = X(X - 1)$ , la raíz $1$ se encuentra en on. el círculo; la fórmula predice $0$ . Directamente, la media de $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ es $0$ , y con $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

La sustitución $u = 2v$ y $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ dan $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (cada mitad equivale $J/2$ por las simetrías de $\sin$ ), por lo que $J = -\pi\log 2$ (el integrales impropias convergen, siendo $\log\sin$ integrable en los puntos finales): la media es $\log2 - \log2 = 0$ . la formula sobrevive a las raíces en el círculo.

20. $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ es completo y es igual a $1$ en $0$ : su recíproco es holomorfo cerca de $0$ (de hecho, en $\abs z < 2\pi$ , los otros ceros más cercanos de $\eu^z - 1$ son $\pm2\iu\pi$ ), por lo que $\frac z{\eu^z-1}$ es analítico en $0$ . Multiplicando las dos series y leyendo el coeficiente de $z^n$ , $n \geq 1$ , en $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ :

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

Sucesivamente: $B_0 = 1$ , $B_1 = -\frac12$ , $B_2 = \frac16$ , $B_3 = 0$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_5 = 0$ , $B_6 = \frac1{42}$ . Uniformidad: con $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ ,

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

$F$ es par, por lo que $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ (el único el coeficiente $B_1$ fue absorbido por $+\frac z2$ ). Adelante puntero: $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ da $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ , entonces los coeficientes de Laurent de la cotangente — por lo tanto, para Capítulo 17, cada $\zeta(2k)$ — son tasado por números de Bernoulli:

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. Escribe $f = \sum_nc_nz^n$ (radio $\infty$ ); entonces $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ es entero. En $\R$ : $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ , entonces $g$ y $f$ acordar un set con acumulación de puntos en el conectado $\C$ : Teorema 16.13 da $g \equiv f$ , es decir $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (equivalentemente: todos $c_n$ son reales). Para un polinomio real $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , y lo mismo identidad aplicada a las derivadas reales $P', P'', \dots$ preserva las multiplicidades: las raíces no reales se emparejan — El binomio de la pregunta 8, reprobado analíticamente.

22. La escalera, montada: delimitada $\Rightarrow$ constante (11); dominado por $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ polinomio (12); parte real acotada arriba $\Rightarrow$ constante (13); constante doblemente periódica $\Rightarrow$ (14); al rango le falta un disco constante $\Rightarrow$ (15); adecuado Polinomio $\Rightarrow$ (16). Cada peldaño es el Cauchy Fórmula: el valor en un punto es un promedio circular, por lo que todos Los coeficientes de Taylor tienen un precio por el tamaño de $f$ en grandes círculos, y un límite de crecimiento aniquila los coeficientes venta al por mayor. Nada de eso restringe las funciones reales de $\mathcal C^\infty$ : a función de golpe (Teorema 12.9) está acotado, de forma compacta apoyado y tremendamente no constante, y sus derivados en cualquier punto fuera del soporte todos desaparecen sin la función desapareciendo en cualquier lugar cercano. La suavidad acopla las derivadas. en distintos puntos, en absoluto; holomorfia cadenas cada derivada de una integral única sobre un círculo distante. un condición local con un informante global — es por eso que funciones enteras obedecen a la ley y al orden.

23. Expandiendo $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ y el promedio elimina todos los términos $k \neq l$ : la media es $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ . Supongamos primero que $P$ no tiene cero en el círculo unitario, por lo que $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ es continuo. El cota $\log t \leq t - 1$ aplicado a $t = \abs P^2/N$ da, después promediando,

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

por lo que la media geométrica de $\abs P$ es como máximo $\sqrt N$ ; La pregunta 19 identifica esa media geométrica como $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : Landau’s desigualdad. Raíces en el círculo: elija $r > 1$ distinto de cada $\abs{\alpha_i}$ ; el polinomio $P(rX)$ , con raíces $\alpha_i/r$ fuera del círculo unitario y coeficientes $a_kr^k$ , satisface la desigualdad; ambos lados son continuo en $r$ , y dejando que $r \to 1^+$ proporcione el caso general. En $X^2 - X$ : raíces $0$ y $1$ , por lo que el lado izquierdo es $1$ , y el El lado derecho es $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : verdadero, con espacio.

24. Escribe $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ con $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ completo, $g(0) = 1$ . desde $\eu^z = 1$ exactamente en $2\pi\iu\Z$ , $g$ no tiene cero en $D(0, 2\pi)$ (para $0 < \abs z < 2\pi$ porque $\eu^z - 1 \neq 0$ , en $0$ por $g(0) = 1$ ), entonces $h = 1/g$ es holomorfo en $D(0,2\pi)$ y su serie Taylor en $0$ — por definición $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — converge en el disco completo: $\rho \geq 2\pi$ . Si $\rho > 2\pi$ , la suma $S$ sería holomorfo en $D(0,\rho)$ y concuerda con $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ en $0 < \abs z < 2\pi$ ; ambos son holomorfo en conectado conjunto abierto $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ , por lo que según el teorema de identidad coinciden allí. pero como $z \to 2\pi\iu$ , $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (numerador $\to 2\pi$ , denominador $\to 0$ ) mientras que $S$ es continuo en $2\pi\iu$ : contradicción. Por lo tanto $\rho = 2\pi$ exactamente, y la fórmula de Hadamard da $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ; lo extraño Si los coeficientes son cero a partir de $n = 3$ , el $\limsup$ es llevado por los índices pares, que es la fórmula indicada con $n = 2k$ . Numéricamente en $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ y $2\cdot12! = 958\,003\,200$ , entonces $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ , en contra $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$ . el La relación, $1.00025$ , es exactamente $\zeta(12)$ con respecto a los dígitos. se muestra: la fórmula de cálculo de residuos $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ de Capítulo 17 explica tanto el factor $2$ como el pequeño exceso.

25. Con destino a Cauchy: si $\abs z > 1 + M$ con $M = \max_k\abs{q_k}$ , entonces

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

entonces $\abs{Q(z)} > 0$ : todas las raíces se encuentran en $\overline D(0, 1+M)$ . Los coeficientes de $P_j$ convergen, por lo tanto, están limitados por algunos $M$ : todas las raíces de todos los $P_j$ (y de $P$ ) se encuentran en el compacto $K = \overline D(0, 1 + M)$ . Sea $v_j \in K^n$ un vector que enumera las raíces de $P_j$ con multiplicidad (pregunta 7). Cada subsecuencia de $(v_j)$ tiene una subsecuencia convergente a algún $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ ; los coeficientes de $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ son, hasta signo, las funciones simétricas elementales de $v_j$ — continuo — entonces a lo largo de esa subsecuencia convergen a los coeficientes de $\prod_i(X - \beta_i)$ ; pero ellos convergen a los de $P$ por hipótesis, por lo que $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : cada límite subsiguiente de $(v_j)$ es un permutación del vector raíz de $P$ . si la coincidencia distancia $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ no tendía a $0$ , una subsecuencia mantendría $\delta_j \geq \varepsilon$ mientras que sus vectores raíz convergen a una permutación de la raíces de $P$ — forzando a $\delta_j \to 0$ a lo largo de él: contradicción. Entonces los multiconjuntos raíz convergen. Nitidez: $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ tiene raíces $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : la doble raíz se mueve por $\sqrt\varepsilon$ , por ejemplo por $10^{-2}$ para $\varepsilon = 10^{-4}$ . En general, si $\alpha$ es una raíz $m$ veces mayor, entonces cerca de $\alpha$ uno tiene $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ , por lo que una perturbación de tamaño $\varepsilon$ desplaza el grupo de raíces por aproximadamente $\varepsilon^{1/m}$ : Hölder continuidad del exponente $\frac1m$ y no mejor — que es por qué un solucionador numérico cerca de una raíz doble retiene sólo la mitad los dígitos de trabajo.