Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

16Funciones holomorfas

La derivabilidad compleja parece una pequeña variación de la teoría real — un límite, un cociente. Es, en cambio, otro universo. Una función derivable una vez en un abierto de $\C$ es automáticamente infinitamente derivable, analítica, determinada en todo un dominio por sus valores cerca de un solo punto y sujeta a principios globales rígidos (Liouville, módulo máximo). Todo ello brota de un milagro, el teorema de Cauchy: la integral de una función holomorfa a lo largo de un camino cerrado en un dominio estrellado es nula. Este capítulo demuestra el milagro (el argumento de Goursat, sin suponer más regularidad que la derivabilidad), cosecha sus consecuencias clásicas y salda un teorema que este libro viene usando a crédito desde el Capítulo 4: todo polinomio complejo no constante tiene una raíz.

En todo el capítulo, $\Omega \subseteq \C$ es abierto y $D(a, r)$ denota el disco abierto.

16.1 Derivabilidad compleja

Definición 16.1

$f \colon \Omega \to \C$ es holomorfa en $\Omega$ si para todo $z_0 \in \Omega$ existe

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

( $h \in \C^*$ ). Sumas, productos, cocientes (con denominador no nulo) y composiciones de funciones holomorfas son holomorfas, con las fórmulas habituales (las demostraciones de primer y segundo año valen palabra por palabra: solo usan operaciones de cuerpo y límites). $\mathcal H(\Omega)$ denota el conjunto de las funciones holomorfas en $\Omega$ .

Proposición 16.2 (Cauchy–Riemann)

Escríbase $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ . Entonces $f$ es holomorfa en $z_0$ si y solo si $f$ es $\R$ -diferenciable en $z_0$ (como aplicación de dos variables reales) y

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{en } z_0 ;

o, equivalentemente, si la diferencial real es la multiplicación por el número complejo $f'(z_0)$ .

Demostración. La $\C$ -derivabilidad dice que $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ con $c = f'(z_0)$ : una diferencial $\R$ -lineal que es la multiplicación por $c = a + \iu b$ , es decir, de matriz $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ en la base $(1, \iu)$ — exactamente las relaciones exhibidas para las derivadas parciales. Recíprocamente, tal diferencial es $\C$ -lineal, y las definiciones de $o(\abs h)$ coinciden. ∎

Ejemplo 16.3

Los polinomios en $z$ , las funciones racionales fuera de sus polos y — por el teorema de derivación término a término de las series de potencias de segundo año, cuya demostración funciona idénticamente sobre $\C$ — toda suma de una serie de potencias $\sum a_n(z - a)^n$ dentro de su disco de convergencia: holomorfa, con derivada $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (mismo radio). En particular, $\exp z = \sum z^n/n!$ es entera (holomorfa en $\C$ ) con $\exp' = \exp$ . En cambio, $z \mapsto \bar z$ , $\abs z$ y $\operatorname{Re}z$ no son holomorfas en ningún punto (Cauchy–Riemann falla en todas partes): la holomorfía es rigidez que conserva ángulos y orientación, no suavidad.

16.2 Integrales de contorno

Definición 16.4

Un camino es una aplicación $\mathcal C^1$ a trozos $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ ; es cerrado si $\gamma(a) = \gamma(b)$ . Para $f$ continua sobre la imagen de $\gamma$ :

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(la desigualdad ML; longitud $= \int_a^b\abs{\gamma'}$ ). La integral es invariante por reparametrizaciones $\mathcal C^1$ crecientes y cambia de signo al invertir la orientación.

Proposición 16.5 (Primitivas)

Para $f$ continua en $\Omega$ , son equivalentes: (i) $f$ tiene una primitiva $F \in \mathcal H(\Omega)$ ( $F' = f$ ); (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ para todo camino cerrado $\gamma$ contenido en $\Omega$ . En tal caso, $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ para todo camino.

Demostración. (i) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (regla de la cadena, válida a trozos), de modo que la integral se telescopa a la diferencia de los extremos; los caminos cerrados dan $0$ . (ii) $\Rightarrow$ (i): fíjese $z_*$ en una componente conexa, defínase $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ a lo largo de cualquier camino de $z_*$ a $z$ (bien definida: dos caminos difieren en un camino cerrado); para $h$ pequeño, tomando el segmento de $z$ a $z + h$ ,

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

por la desigualdad ML y la continuidad de $f$ en $z$ . ∎

Definición 16.6 (Índice de un camino)

Para un camino cerrado $\gamma$ y $z \notin \operatorname{im}\gamma$ , el índice es

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

Es un entero: poniendo $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ , la función $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ tiene derivada nula (a trozos), luego es constante; en $t = b$ , $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , de modo que $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ . Como función de $z$ , el índice es continuo en $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergencia dominada), luego constante en cada componente conexa, y $0$ en la componente no acotada (ML: la integral tiende a $0$ cuando $z \to \infty$ ). Para la circunferencia $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ para $z \in D(a,r)$ (calcúlese en $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; la constancia hace el resto).

16.3 El teorema de Cauchy

Teorema 16.7 (Goursat)

Sean $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $T \subseteq \Omega$ un triángulo macizo cerrado. Entonces $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (borde recorrido una vez, en cualquier orientación).

Demostración. Sea $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ . Uniendo los puntos medios de los lados se parte $T$ en cuatro triángulos de tamaño mitad $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ , y las aristas interiores se cancelan por pares: $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ . Elíjase entre ellos $T_1$ con $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ , e itérese: una sucesión encajada $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ con

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

La intersección $\bigcap T_n$ es un único punto $z_0$ (compactos encajados de diámetros que tienden a cero, el Teorema 6.13(3)). Derivabilidad en $z_0$ : dado $\varepsilon$ , para $n$ grande, sobre $T_n$ ,

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

La parte afín tiene una primitiva: su integral sobre el $\partial T_n$ cerrado es nula (la Proposición 16.5), y queda

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

Comparando con $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ : $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{cte}$ para todo $\varepsilon$ : $I(T) = 0$ . ∎

Teorema 16.8 (Teorema de Cauchy, versión estrellada)

Sea $\Omega$ estrellado respecto de $c$ (todo segmento $[c, z]$ , $z \in \Omega$ , está contenido en $\Omega$ ) — por ejemplo, convexo. Toda $f \in \mathcal H(\Omega)$ tiene una primitiva en $\Omega$ ; en consecuencia, $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ para todo camino cerrado $\gamma$ contenido en $\Omega$ .

Demostración. Defínase $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ . Para $z, z + h \in \Omega$ con $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (cierto para $h$ pequeño), el triángulo de vértices $c, z, z+h$ está contenido en $\Omega$ (por ser estrellado: cada uno de sus puntos está en un segmento $[c, w]$ con $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ ); Goursat da

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

y el cálculo del cociente incremental de la Proposición 16.5 produce $F' = f$ . La anulación de las integrales sobre caminos cerrados se sigue de la misma proposición. ∎

Teorema 16.9 (Fórmula integral de Cauchy)

Sean $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ y $C_r$ la circunferencia $\partial D(a,r)$ recorrida una vez en sentido positivo. Entonces, para todo $z \in D(a, r)$ :

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

Demostración. Fíjese $z$ y defínase en $\Omega$

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

$g$ es continua en $\Omega$ y holomorfa fuera de $z$ . Goursat vale para $g$ en todo triángulo $T \subseteq \Omega'$ , donde $\Omega'$ es un disco ligeramente mayor que $\bar D(a,r)$ contenido en $\Omega$ : si $z \notin T$ , directamente; si $z \in T$ , pártase $T$ en triángulos pequeños con $z$ por vértice más triángulos que evitan $z$ ; en un triángulo de vértice $z$ , la cota ML da $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ cuando el triángulo se encoge, y las piezas restantes se anulan por Goursat — luego $\int_{\partial T}g = 0$ en todos los casos. La demostración del Teorema 16.8 solo usó esta propiedad triangular: $g$ tiene una primitiva en el convexo $\Omega'$ , de modo que $\int_{C_r}g = 0$ , i.e.

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 Analiticidad y su cascada

Teorema 16.10 (Holomorfa $=$ analítica)

Sean $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $D(a, R) \subseteq \Omega$ . Entonces

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{en } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

con coeficientes independientes de $r$ . En consecuencia, $f$ es infinitamente $\C$ -derivable, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ , y valen las estimaciones de Cauchy:

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

Demostración. Para $\abs{z - a} < r$ : desarróllese el núcleo de Cauchy en la serie geométrica

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

normalmente convergente en $w$ sobre $C_r$ ( $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ): intégrese término a término contra $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (la convergencia uniforme justifica el intercambio) y aplíquese el Teorema 16.9. Una serie de potencias es infinitamente derivable con $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (segundo año), lo que muestra además que los $c_n$ no dependen de $r$ . Las estimaciones: acótese la integral del coeficiente por ML. ∎

Ejemplo 16.11 (Las singularidades dictan los radios)

¿Por qué la inocente función real $\frac1{1 + x^2}$ tiene en $x = 3$ una serie de Taylor que converge solo para $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ , si nada va mal sobre la recta real? Porque el teorema anterior iguala el radio de convergencia en $a$ a la distancia de $a$ al punto más próximo donde falla la holomorfía. Aquí $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ es holomorfa exactamente en $\C\setminus\{\pm\iu\}$ , de modo que el desarrollo en $a = 3$ converge en el mayor disco que evita $\pm\iu$ , de radio $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — y no puede converger en uno mayor, pues la suma extendería $f$ holomorfamente a un entorno de $\pm\iu$ , donde $\abs f \to \infty$ . La teoría real ve el misterioso radio $\sqrt{10}$ ; el plano complejo ve dos polos. Esta es la regla práctica: para hallar un radio de convergencia, localícense las singularidades — por ejemplo, la serie de Taylor de $\tan$ en $0$ tiene radio $\frac\pi2$ (ceros más próximos de $\cos$ ), y la función generatriz de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (el Problema 16.1, Parte VI) tiene radio $2\pi$ (ceros no nulos más próximos de $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$ ).

Corolario 16.12 (Liouville; d’Alembert–Gauss)

Toda función entera acotada es constante. En consecuencia, todo polinomio no constante sobre $\C$ tiene una raíz: $\C$ es algebraicamente cerrado.

Demostración. Si $\abs f \leq M$ en $\C$ : para todo $a$ y todo $r$ , $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : $f' \equiv 0$ , y $f$ es constante (en el conexo $\C$ : derivada nula implica localmente constante — intégrese a lo largo de segmentos). Si $P$ no tuviera raíz, $1/P$ sería entera y acotada ( $\abs{P(z)} \to \infty$ cuando $\abs z \to \infty$ : el término dominante manda, de modo que $\abs{1/P}$ es pequeño fuera de un disco grande y continuo en el disco compacto): constante — absurdo para $P$ no constante. (El problema de fin de semana da una segunda demostración, elemental, y las consecuencias algebraicas.) ∎

Teorema 16.13 (Los ceros son aislados; principio de identidad)

Sean $\Omega$ conexo y $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $f \not\equiv 0$ . Entonces todo cero $a$ de $f$ tiene orden finito: $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ con $g \in \mathcal H(\Omega)$ , $g(a) \neq 0$ , y los ceros de $f$ no tienen punto de acumulación en $\Omega$ . En consecuencia, si dos funciones holomorfas en $\Omega$ coinciden en un conjunto con un punto de acumulación en $\Omega$ , coinciden en todas partes.

Demostración. Sea $Z$ el conjunto de los puntos donde se anulan todas las derivadas de $f$ . $Z$ es cerrado (intersección de cerrados) y abierto: si todas las $c_n = 0$ en $a$ , el desarrollo en serie de potencias da $f \equiv 0$ en un disco alrededor de $a$ . Por conexión: $Z = \varnothing$ o $Z = \Omega$ ; lo segundo queda excluido por $f \not\equiv 0$ . Así, en un cero $a$ algún coeficiente es no nulo: sea $m$ mínimo con $c_m \neq 0$ ; entonces $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ en un disco, y la suma define $g$ holomorfa cerca de $a$ con $g(a) = c_m \neq 0$ ; extiéndase $g = f/(z-a)^m$ fuera de $a$ (holomorfa allí). Como $g(a) \neq 0$ y $g$ es continua, $f$ no tiene ningún otro cero en un entorno de $a$ : los ceros son aislados, y un conjunto de puntos aislados no tiene punto de acumulación en $\Omega$ (un punto de acumulación de ceros es un cero — por continuidad — y no sería aislado). Identidad: aplíquese a la diferencia, cuyo conjunto de ceros tiene un punto de acumulación, lo que la fuerza a la rama $Z = \Omega$ . ∎

Teorema 16.14 (Valor medio y módulo máximo)

Sea $f \in \mathcal H(\Omega)$ .

(Valor medio) Para $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ .
(Principio del máximo) Si $\Omega$ es conexo y $\abs f$ alcanza un máximo local en algún punto de $\Omega$ , entonces $f$ es constante. En consecuencia, para $\Omega$ acotado y $f$ continua en $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ .

Demostración. (1) es la fórmula de Cauchy en el centro: parametrícese $C_r$ . (2) Digamos que $\abs f \leq \abs{f(a)}$ en $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ . Si $f(a) = 0$ , $f \equiv 0$ cerca de $a$ . En caso contrario, para $0 < r \leq \rho$ , el valor medio da

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

el integrando continuo no negativo $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ tiene media nula, luego se anula: $\abs f$ es constante $= \abs{f(a)} \ne 0$ en el disco. Una función holomorfa de módulo constante no nulo en un disco es constante: derivando $P^2 + Q^2 = \text{cte}$ se obtiene $PP_x + QQ_x = 0$ y $PP_y + QQ_y = 0$ ; sustituyendo las relaciones de Cauchy–Riemann $P_y = -Q_x$ , $Q_y = P_x$ en la segunda ecuación resulta el sistema lineal

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

cuyo determinante es $P^2 + Q^2 \neq 0$ : $P_x = Q_x = 0$ , luego $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ en el disco: $f$ constante allí. El principio de identidad propaga la constancia a todo $\Omega$ . La forma con frontera: $\abs f$ alcanza su supremo en el compacto $\bar\Omega$ ; un máximo interior hace $f$ constante, y el supremo se alcanza en la frontera en todos los casos. ∎

Teorema 16.15 (Teorema de convergencia de Weierstrass)

Si $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ convergen a $f$ uniformemente en todo compacto de $\Omega$ , entonces $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformemente en los compactos, para todo $k$ .

Demostración. $f$ es continua. Para todo triángulo cerrado $T \subseteq \Omega$ : $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (convergencia uniforme en el compacto $\partial T$ ; Goursat para $f_n$ ). Por el argumento del Teorema 16.8, $f$ tiene primitivas locales (los discos son convexos; solo se usó la propiedad triangular), es decir, $f = F'$ localmente con $F$ holomorfa; $F$ es analítica (el Teorema 16.10), luego también lo es $f = F'$ : holomorfa. (Esto es el teorema de Morera: continua con integrales triangulares nulas implica holomorfa.) Derivadas: para $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ y $z \in \bar D(a, r)$ , la fórmula de Cauchy para las derivadas (derívese el Teorema 16.9 bajo la integral, o úsese la fórmula de los coeficientes) da

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

uniformemente en $\bar D(a,r)$ ; recúbrase un compacto por un número finito de tales discos, e itérese para los $k$ superiores. ∎

Fórmula de Cauchy: los valores de una función holomorfa dentro de un disco son un promedio ponderado de sus valores sobre la circunferencia que lo limita. Todo lo rígido de la holomorfía — analiticidad, Liouville, principio del máximo — se despliega a partir de esta única identidad. — Fórmula de Cauchy: los valores de una función holomorfa *dentro* de un disco son un promedio ponderado de sus valores sobre la circunferencia que lo limita. Todo lo rígido de la holomorfía — analiticidad, Liouville, principio del máximo — se despliega a partir de esta única identidad.

Método 16.16

La caja de herramientas cotidiana. Para demostrar que una función es holomorfa: exhíbase como serie de potencias, como composición, como límite uniforme sobre compactos (el Teorema 16.15) o como integral con parámetro holomorfo (el Ejercicio 16.7 — derívese bajo $\int$ o aplíquese Morera–Fubini). Para demostrar identidades: demuéstrense en un segmento o en un subdominio e invóquese el principio de identidad. Para acotar: estimaciones de Cauchy en la mayor circunferencia disponible. Para demostrar constancia o inexistencia: Liouville o el principio del máximo. Sépase siempre dónde es holomorfa la función y qué discos caben en $\Omega$ .

16.5 Ejercicios

Ejercicio 16.1 ★

(a) ¿En qué puntos son $z \mapsto \bar z$ , $\abs z^2$ y $\operatorname{Re}z$ derivables en sentido complejo? ¿Holomorfas en algún abierto? (b) Demostrar que $P(x, y) = x^2 - y^2$ es la parte real de una función holomorfa en $\C$ , hállese explícitamente y determínense todas.

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

(a) $\bar z$ : $P = x$ , $Q = -y$ , luego $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : no es $\C$ -derivable en ningún punto. $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ , $Q = 0$ : Cauchy–Riemann exige $2x = 0 = 2y$ : derivable solo en $0$ — y holomorfa en ningún sitio (ningún abierto). $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : en ningún punto.

(b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ sirve. Todas las soluciones: si $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ con $f, g$ holomorfa en el conexo $\C$ , entonces $h = f - g$ cumple $\operatorname{Re}h = 0$ ; Cauchy–Riemann da $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : $h$ es una constante imaginaria. Respuesta: $f(z) = z^2 + \iu c$ , $c \in \R$ .

Ejercicio 16.2 ★

Calcúlese a partir de las definiciones: $\int_{C}z^n\,\dd z$ para todo $n \in \Z$ , siendo $C$ la circunferencia unidad; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ a lo largo del segmento $[0, 1+\iu]$ y a lo largo del camino de dos segmentos que pasa por $1$ : conclúyase que $\bar z$ no tiene primitiva en ningún entorno de estos caminos.

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

Sobre la circunferencia unidad $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ :

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

Para $\bar z$ : a lo largo de $[0, 1+\iu]$ , $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ . A lo largo de $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ . Valores distintos entre los mismos extremos: por la Proposición 16.5, $\bar z$ no tiene primitiva en ningún abierto que contenga ambos caminos.

Ejercicio 16.3 ★★

(a) Demostrar que el logaritmo principal $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) es holomorfo en $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ con derivada $\frac1z$ (primitiva de $\frac1z$ en el plano hendido, que es estrellado: el Teorema 16.8; ajústese la constante). (b) Demostrar que no existe ningún logaritmo continuo en $\C^*$ (la obstrucción sin derivadas: el índice de la circunferencia unidad). (c) Desarróllese $\log(1 + z)$ en serie de potencias en $D(0,1)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

(a) El plano hendido $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ es estrellado respecto de $1$ , y $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : el Teorema 16.8 proporciona una primitiva $L$ con $L(1) = 0$ . Entonces $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : $z = c\,\eu^{L(z)}$ con $c = 1$ (en $z = 1$ ). Escribiendo $L = u + \iu v$ : $\abs z = \eu^u$ y $z = \abs z\eu^{\iu v}$ con $v$ continua, $v(1) = 0$ , $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ( $v$ es un argumento continuo de $z$ en el conexo $\Omega$ , de modo que su imagen evita los múltiplos impares de $\pi$ — ningún punto de $\Omega$ está sobre $\R_-$ — y, conteniendo $v(1) = 0$ , permanece en $\intoo{-\pi}\pi$ : $v$ es el argumento principal): $L = \log$ .

(b) Si $g$ fuera un logaritmo continuo en $\C^*$ : $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ cumple $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ , luego $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ y, por continuidad, $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ para un entero fijo $k$ . Entonces $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ y $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : contradicción.

(c) En $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — ambos miembros se anulan en $0$ y tienen derivada $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (el Ejemplo 16.3); una primitiva es única salvo constante en el disco, que es conexo.

Ejercicio 16.4 ★★

(a) Sea $f$ entera con $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ . Demostrar que $f$ es un polinomio de grado $\leq n$ (estimaciones de Cauchy en circunferencias grandes). (b) Sea $f$ entera con $\operatorname{Re}f$ acotada superiormente. Demostrar que $f$ es constante (considérese $\eu^{f}$ ). (c) Dedúzcase el «pequeño Picard para aplicaciones afines»: una función entera que omite un semiplano es constante.

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

(a) Desarróllese en $0$ (radio $\infty$ ): por las estimaciones de Cauchy en $C_r$ , $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ cuando $r \to \infty$ para $k > n$ : $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ .

(b) Si $\operatorname{Re}f \leq M$ : $g = \eu^f$ es entera con $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante por Liouville. Entonces $g' = f'g = 0$ con $g$ no nula: $f' = 0$ , y $f$ es constante.

(c) Si $f$ omite el semiplano $H$ , una aplicación afín $w \mapsto \alpha w + \beta$ lleva $\C\setminus H$ dentro de $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ; aplíquese (b) a $\alpha f + \beta$ .

Ejercicio 16.5 ★★

(a) Sea $f$ holomorfa en un conexo $\Omega \ni 0$ con $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ para todo $n$ grande. Determínese $f$ . (b) ¿Existe alguna holomorfa $f$ en $\C^*$ que cumpla $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ para todo $n \geq 1$ ? Justifíquese. (c) Exhíbanse dos funciones holomorfas distintas en $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ que coincidan en $D(0,1)$ : ¿dónde usa el principio de identidad la conexión?

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

(a) $g(z) = f(z) - z^2$ se anula en los puntos $\frac1n$ , que se acumulan en $0 \in \Omega$ : por el principio de identidad ( $\Omega$ conexo), $g \equiv 0$ : $f(z) = z^2$ .

(b) Sí: $f(z) = z\cos(\pi/z)$ es holomorfa en $\C^*$ (composición) y $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ . Ninguna contradicción con (a): el punto de acumulación $0$ de los nodos de interpolación no pertenece a $\C^*$ , de modo que el principio de identidad calla — dos funciones distintas ( $z\cos(\pi/z)$ y, pongamos, la procedente de otra interpolación) pueden compartir esos valores.

(c) $f \equiv 0$ en todas partes, frente a $g = 0$ en $D(0,1)$ y $g = 1$ en $D(3,1)$ : holomorfas en la unión disconexa, iguales en $D(0,1)$ , distintas. El argumento de abierto-cerrado del principio de identidad necesita la conexión para propagarse de una componente a la otra — y no puede.

Ejercicio 16.6 ★★

Sea $f$ holomorfa en el disco unidad abierto $\mathbb D$ y continua en $\bar{\mathbb D}$ , con $\abs f \equiv 1$ en la circunferencia frontera. (a) Si $f$ no tiene ningún cero en $\mathbb D$ , demuéstrese que $f$ es constante (aplíquese el principio del máximo a $f$ y a $1/f$ ). (b) Dese un ejemplo con un cero en el que $f$ no sea constante.

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

(a) Por el principio del máximo aplicado en el dominio acotado: $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ . Como $f$ no tiene ceros, $1/f$ es holomorfa en $\mathbb D$ y continua en la clausura, con módulo $1$ en la frontera: igualmente $\abs{1/f} \leq 1$ , es decir, $\abs f \geq 1$ . Luego $\abs f \equiv 1$ : el módulo alcanza un máximo interior, y el Teorema 16.14(2) obliga a que $f$ sea constante.

(b) $f(z) = z$ : módulo $1$ en la frontera, nula en el origen, no constante — el cero es precisamente lo que bloquea el argumento con $1/f$ .

Ejercicio 16.7 ★★

(Holomorfía bajo la integral) Sea $\mu$ una medida finita sobre un espacio $X$ y $g \colon X\times\Omega \to \C$ con: $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ para cada $x$ , $g$ medible en $x$ , y $\abs g \leq h(x)$ con $h$ integrable, localmente uniformemente en $z$ . Demuéstrese que $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ es holomorfa en $\Omega$ . (Morera: las integrales triangulares se anulan por Fubini y Goursat; la continuidad, por convergencia dominada. Aplíquese después a $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ en $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

Continuidad de $G$ : convergencia dominada con dominante $h$ (cota localmente uniforme). Holomorfía por Morera (establecido dentro del Teorema 16.15): para un triángulo cerrado $T$ contenido en un disco donde $\abs g \leq h$ ,

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

el intercambio por Fubini ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) y la anulación interior por Goursat. Para $\Gamma$ : en la banda $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ( $0 < a \leq b$ ), $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ , integrable en $\intoo0{+\infty}$ : $\Gamma$ es holomorfa en $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (la medida es solo $\sigma$ -finita, pero el argumento solo necesita la dominante integrable). Por el principio de identidad, la ecuación funcional $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ , demostrada en $\intoo0{+\infty}$ (el Ejemplo 10.16), vale en todo el semiplano.

Ejercicio 16.8 ★★★

(Gauss–Lucas) Sea $P \in \C[X]$ no constante. Demuéstrese que toda raíz de $P'$ está en la envoltura convexa de las raíces de $P$ . (Escríbase $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ en una raíz $z$ de $P'$ que no sea raíz de $P$ , tómense conjugados y léase una combinación convexa.) Ilústrese sobre $P = z^3 - 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

Escríbase $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (el Problema 16.1). Sea $P'(z) = 0$ . Si $P(z) = 0$ , entonces $z$ es uno de los $a_k$ : está en la envoltura. En caso contrario, la derivada logarítmica da

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

y, conjugando, $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ con $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ , una combinación convexa de las raíces. Para $P = z^3 - 1$ : las raíces son las raíces cúbicas de la unidad, $P' = 3z^2$ con raíz doble $0$ — el baricentro del triángulo equilátero.

Ejercicio 16.9 ★★★

Sea $f$ entera y doblemente periódica: $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$ . Demuéstrese que $f$ es constante. (Acótese $f$ en el cuadrado fundamental, que es compacto, y después en todas partes; Liouville.) Moraleja: las funciones elípticas no constantes han de tener polos — el tema del Capítulo 17.

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

El cuadrado unidad cerrado $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ es compacto: $M = \sup_K\abs f < \infty$ . Todo $z \in \C$ difiere de un punto de $K$ en un elemento de $\Z + \iu\Z$ (réstense las partes enteras), y $f$ es invariante por esas traslaciones (itérense las dos relaciones): $\abs f \leq M$ en $\C$ . Liouville: $f$ es constante. Por tanto, toda función meromorfa doblemente periódica no constante — las funciones elípticas de la teoría clásica — ha de tener polos.

Ejercicio 16.10 ★★

(a) Demuéstrese que $P = \operatorname{Re}f$ , para $f$ holomorfa, cumple la propiedad del valor medio $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ y es armónica: $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (derívese Cauchy–Riemann; úsese el Teorema 16.10 para la suavidad necesaria). (b) Dedúzcase el principio del máximo para partes reales de funciones holomorfas en dominios acotados.

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

(a) Tómense partes reales en la fórmula del valor medio (el Teorema 16.14(1)). Suavidad: $f$ es analítica, luego $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; derivando Cauchy–Riemann: $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (simetría de Schwarz de las derivadas segundas): $\Delta P = 0$ .

(b) Si $\operatorname{Re}f$ alcanzara un máximo interior en un conexo $\Omega$ : $g = \eu^f$ tendría $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ alcanzando un máximo interior, de modo que $g$ , y por tanto $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ , es constante (el Teorema 16.14(2)). En un dominio acotado con continuidad hasta la frontera, $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ .

Ejercicio 16.11 ★★★

(Reflexión de Schwarz) Sean $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ , $I = \intoo{-1}1$ y $f$ holomorfa en $\Omega^+$ , continua en $\Omega^+\cup I$ , con valores reales en $I$ . Defínase

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(a) Demuéstrese que $F$ está bien definida y es continua en $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ , y holomorfa en $\Omega^\pm$ (para $\Omega^-$ : verifíquese Cauchy–Riemann para $\overline{f(\bar z)}$ , o desarróllese $f$ en serie de potencias local y conjúguense los coeficientes). (b) Demuéstrese que $F$ es holomorfa en todo $\Omega$ por el criterio de Morera: $\int_{\partial T}F = 0$ para todo triángulo $T \subseteq \Omega$ (pártanse los triángulos en $I$ y sepárense sus lados horizontales del eje en $\varepsilon$ , usando la continuidad uniforme). (c) Dedúzcase: una función holomorfa en el disco, real en un diámetro, cumple $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ; y una función holomorfa no constante no puede tomar valores reales en ningún abierto no vacío de su dominio (conexo).

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

(a) Las dos fórmulas coinciden en $I$ ( $z = \bar z$ y $f$ son reales allí: $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ ), y $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ es continua en $\Omega^-\cup I$ por ser composición de aplicaciones continuas: $F$ es continua en $\Omega$ . Holomorfía en $\Omega^-$ : cerca de $z_0 \in \Omega^-$ , desarróllese $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ cerca de $\bar z_0 \in \Omega^+$ ; entonces

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

una serie de potencias convergente: holomorfa.

(b) Los triángulos que evitan $I$ los trata Goursat en $\Omega^\pm$ . Para un triángulo que corta $I$ , córtese por el eje real en a lo sumo tres triángulos o cuadriláteros, cada uno con un lado sobre $I$ ; para una pieza $P$ contenida, digamos, en $\overline{\Omega^+}$ , la integral de contorno es el límite cuando $\varepsilon \to 0^+$ de la integral sobre las trasladadas de tipo $P + \iu \varepsilon$ (la continuidad uniforme de $F$ en la pieza compacta hace converger las integrales de contorno, aproximándose el lado sobre $I$ desde arriba), y cada trasladada está en $\Omega^+$ , donde Goursat da $0$ . Sumando las piezas: $\int_{\partial T}F = 0$ . Morera (el criterio interno del Teorema 16.15): $F$ es holomorfa en $\Omega$ .

(c) En el disco, $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ es holomorfa por el cálculo de (a) y coincide con $f$ en el diámetro, un conjunto con puntos de acumulación: $G = f$ en todas partes (principio de identidad). Si $f$ fuera real en un abierto no vacío $U$ : en $U$ se anulan ambas parciales de $Q = \operatorname{Im}f$ , y Cauchy–Riemann traslada esto a $P = \operatorname{Re}f$ ( $P_x = Q_y = 0$ , $P_y = -Q_x = 0$ ), de modo que $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ en $U$ : $f$ es constante en $U$ , luego en todas partes por el principio de identidad ( $\Omega$ conexo).

Ejercicio 16.12 ★★

(La ecuación pitagórica compleja) Hállense todos los pares de funciones enteras con $f^2 + g^2 = 1$ . (a) Demuéstrese que $h = f + \iu g$ es entera y no se anula, y que toda función entera sin ceros es $\eu^{\varphi}$ para cierta $\varphi$ entera ( $h'/h$ es entera, luego tiene una primitiva en el estrellado $\C$ ; ajústese la constante y demuéstrese que $h\eu^{-\varphi}$ es constante). (b) Conclúyase $f = \cos\varphi$ , $g = \sin\varphi$ con $\varphi$ entera, y compruébese el recíproco. ¿Cuáles son las soluciones enteras de $f^2 + g^2 = 0$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

(a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ , de modo que $h = f + \iu g$ no se anula nunca (su cofactor tendría que explotar). Para $h$ entera sin ceros: $h'/h$ es entera, y $\C$ es estrellado, luego tiene una primitiva $\varphi_0$ (el Teorema 16.8); entonces $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ con $c \neq 0$ , y absorbiendo una constante $\log c$ en $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (cualquier logaritmo complejo de $c$ ): $h = \eu^{\varphi}$ .

(b) Con $h = \eu^{\varphi}$ y $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ :

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

Escribiendo $\varphi = \iu\psi$ con $\psi = -\iu\varphi$ entera, esto se lee $f = \cos\psi$ , $g = \sin\psi$ : las soluciones enteras son exactamente los pares $(\cos\psi, \sin\psi)$ con $\psi$ entera, y el recíproco es la identidad $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . Para $f^2 + g^2 = 0$ : $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ en el dominio de integridad $\mathcal H(\C)$ ( $\C$ conexo: los divisores de cero violarían el principio de identidad): $g = \pm\iu f$ con $f$ entera arbitraria.

16.6 Problema: el teorema fundamental del álgebra, dos veces

Problema 16.1

Problema de fin de semana — $\C$ es algebraicamente cerrado: la demostración de d’Alembert, la de Liouville y la cosecha

Sean $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ , $n \geq 1$ . Demostraremos dos veces que $P$ tiene una raíz y recogeremos después lo que el álgebra lleva esperando desde el Capítulo 4.

Parte I — Coercividad y mínimo.

Demostrar que $\abs{P(z)} \to +\infty$ cuando $\abs z \to \infty$ : con precisión, $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ para $\abs z \geq R_0$ adecuados.
Dedúzcase que $\abs P$ alcanza un mínimo global en $\C$ : existe $z_0$ con $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (compacidad de un disco cerrado grande, Corolario 6.17).

Parte II — El descenso de d’Alembert. Supóngase, por reducción al absurdo, que $P(z_0) \neq 0$ .

Desarróllese $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ como polinomio en $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ con $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ , $S$ un polinomio.
Elíjase la dirección de descenso: para $t > 0$ pequeño, póngase $h = t\,\omega$ donde $\omega^k = -1/c_k$ (¿por qué existe tal $\omega$ ? — demuéstrese la existencia de raíces $k$ -ésimas de cualquier número complejo mediante la forma polar, independientemente del teorema que se está demostrando). Demuéstrese

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$

para $t$ pequeño, con una constante explícita $C$ .
Conclúyase $\abs{Q(t\omega)} < 1$ para $t$ pequeño — en contradicción con la minimalidad de $\abs{P(z_0)}$ . Luego $P(z_0) = 0$ : todo polinomio complejo no constante tiene una raíz (d’Alembert–Argand).

Parte III — El renglón de Liouville, desarrollado.

Escríbase con cuidado la demostración del Corolario 16.12: si $P$ no tiene raíces, verifíquese que $1/P$ es entera y acotada (cuantifíquese usando la pregunta 1), luego constante, y conclúyase. Compárense las dos demostraciones: ¿qué ingredientes usa cada una? (La compacidad aparece en ambas — ¿dónde?)

Parte IV — La cosecha.

Demostrar que todo $P \in \C[X]$ de grado $n$ se escinde: $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ con $\sum m_i = n$ (inducción, división euclídea por $(X - \alpha)$ ).
Demostrar que los polinomios irreducibles de $\R[X]$ son los de grado uno y los de grado dos con discriminante negativo (emparéjense las raíces conjugadas); dedúzcase que todo polinomio real de grado impar tiene una raíz real y dese una segunda demostración de este último hecho, de tipo ordinal (teorema del valor intermedio) — comprobando que coinciden en $X^3 - X - 1$ .
Dedúzcanse las deudas que este libro puede ya saldar: (i) todo endomorfismo de un $\C$ -espacio vectorial no nulo de dimensión finita tiene un valor propio, de modo que toda matriz compleja tiene una forma de Jordan (el Teorema 3.18); (ii) el cuerpo $\bar\Q$ de los números algebraicos usado en la Observación 4.10 es, en efecto, una clausura algebraica de $\Q$ .
(Final) Señálese con precisión dónde se rompería cada demostración sobre un cuerpo como $\Q(\iu)$ : ¿qué pasos usan la existencia de raíces $k$ -ésimas (pregunta 4) y cuáles la compacidad o la completitud (preguntas 2 y 6)? Conclúyase en cinco líneas: el teorema es genuinamente analítico — toda demostración invoca en algún punto la completitud o la conexión de $\R$ — aunque su enunciado sea puramente algebraico.

Parte V — La escala de rigidez de las funciones enteras. Liouville es el primer peldaño de una escala; subámosla.

(Estimaciones de Cauchy) A partir de la fórmula de Cauchy en la circunferencia de radio $r$ centrada en $a$ , demuéstrese

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

y recupérese Liouville como el caso $n = 1$ , $r \to \infty$ .
(Crecimiento polinómico) Demuéstrese que una función entera $f$ con $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ para todo $z$ es un polinomio de grado $\leq m$ (mátense los coeficientes de Taylor más allá de $m$ con la pregunta 11).
(Parte real acotada) Demuéstrese que una función entera $f$ con $\operatorname{Re}f$ acotada superiormente es constante (aplíquese Liouville a $\eu^{f}$ ).
(Doble periodicidad) Sea $f$ entera con $f(z + 1) = f(z)$ y $f(z + \iu) = f(z)$ para todo $z$ . Demuéstrese que $f$ es constante. Conclúyase: una función «elíptica» no constante ha de tener singularidades — la razón histórica por la que los polos entran en el análisis complejo.
(Imagen densa) Demuéstrese que la imagen de una función entera no constante es densa en $\C$ : si $f(\C)$ evita un disco $D(a, r)$ , entonces $\frac1{f - a}$ es entera y acotada. (Picard demostró que la imagen omite a lo sumo un punto; la densidad es el nivel que alcanzan nuestras herramientas.)
(Propia $\Rightarrow$ polinomio) Supóngase que $f$ es entera y $\abs{f(z)} \to \infty$ cuando $\abs z \to \infty$ . Demuéstrese: los ceros de $f$ son finitos en número ( $z_1, \dots, z_p$ , con multiplicidades $m_i$ ); el cociente $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ es entero y sin ceros; $1/g$ tiene crecimiento polinómico, luego (pregunta 12) es un polinomio, necesariamente constante (sin ceros); conclúyase que $f$ es un polinomio. Así pues, entre las funciones enteras, los polinomios son exactamente las propias — $\eu^z$ falla la propiedad a lo largo de $\R_-$ .

Parte VI — Sombras armónicas y un valor medio de Gauss.

Sea $f = u + \iu v$ holomorfa en un abierto. Verifíquese que $u = \operatorname{Re}f$ cumple la propiedad del valor medio

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

(parte real de la fórmula de Cauchy) y dedúzcase el principio del máximo para $u$ en un dominio acotado, con la misma demostración por conexión que para $\abs f$ .
(Valor medio de Gauss) Para $a \in \C$ y $r > 0$ con $\abs a \neq r$ , demuéstrese

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(si $\abs a > r$ : $z \mapsto \log\abs{a - z}$ es la parte real de un logaritmo holomorfo en un entorno del disco cerrado — ¿por qué existe uno? —, de modo que se aplica la pregunta 17; si $\abs a < r$ : factorícese $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ y reutilícese el primer caso).
(Medida de Mahler) Para $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ , dedúzcase la fórmula de Jensen para polinomios:

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

la media geométrica de $\abs P$ sobre la circunferencia unidad lee las raíces exteriores al disco. Verifíquese en $P = X^2 - X$ y en $P = 2X - 1$ .
(Números de Bernoulli) Defínanse los coeficientes $B_n$ por $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ cerca de $0$ (¿por qué es analítico el miembro izquierdo en $0$ ?). Dedúzcase la recurrencia $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) de $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ , calcúlense $B_0, \dots, B_6$ y demuéstrese $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ (la función $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ es par). Estos números pondrán precio a cada $\zeta(2k)$ en Capítulo 17.
(Realidad) Demuéstrese que una función entera que toma valores reales en $\R$ cumple $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ en todas partes (compárense los coeficientes de Taylor en $0$ , o aplíquese el principio de identidad a $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ ); dedúzcase de nuevo que las raíces no reales de los polinomios reales van por pares conjugados (el emparejamiento de la pregunta 8, demostrado ahora analíticamente).
(La moraleja) Móntese la escala de rigidez: acotada $\Rightarrow$ constante; acotada polinómicamente $\Rightarrow$ polinomio; propia $\Rightarrow$ polinomio; omite un disco $\Rightarrow$ constante; doblemente periódica $\Rightarrow$ constante. Contrástese en un breve párrafo con las funciones reales $\mathcal C^\infty$ (funciones meseta, el Teorema 12.9): ¿por qué la holomorfía, condición puramente local, impone ley y orden globales?

Parte VII — Última cosecha.

(Desigualdad de Landau) Para $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ , demuéstrese el valor medio $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (ortogonalidad de los $\eu^{\iu k\theta}$ ) y, usando después la cota puntual $\log t \leq t - 1$ para comparar las medias de $\log\abs P^2$ y $\abs P^2$ , dedúzcase de la pregunta 19 que

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

el producto de las raíces exteriores al disco unidad está controlado por el tamaño $\ell^2$ de los coeficientes (trátense las raíces sobre la circunferencia aplicando la desigualdad a $P(rX)$ y haciendo $r \to 1$ ). Compruébese en $X^2 - X$ .
(Los números de Bernoulli crecen factorialmente) Demuéstrese que el radio de convergencia de $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ es exactamente $2\pi$ : al menos $2\pi$ porque $z/(\eu^z - 1)$ se extiende holomorfamente a $D(0, 2\pi)$ , y a lo sumo $2\pi$ porque, si no, la suma se mantendría acotada cerca de $2\pi\iu$ , donde $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ . Dedúzcase

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

los números de Bernoulli crecen factorialmente. Admitiendo $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (la recurrencia de la pregunta 20, llevada más lejos), compárese $\abs{B_{12}} \approx 0.25311$ con la predicción más fina $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ en $k = 6$ — cuatro cifras coincidentes de una ley asintótica que el Capítulo 17 demostrará exactamente, vía $\zeta(2k)$ .
(Las raíces se mueven continuamente) Sean $(P_j)$ mónicos de grado $n$ con coeficientes convergentes a los de $P$ (mónico). Demuéstrese la cota de Cauchy: toda raíz de un mónico $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ cumple $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ ; dedúzcase que las raíces de los $P_j$ permanecen en un compacto fijo y, extrayendo subsucesiones convergentes de vectores de raíces y pasando al límite en la factorización de la pregunta 7, que los multiconjuntos de raíces de $P_j$ convergen al de $P$ . Demuéstrese, por último, que la continuidad es lo mejor que puede decirse: para $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ , una perturbación de tamaño $\varepsilon = 10^{-4}$ desplaza la raíz doble $1$ en $10^{-2}$ — exponente de Hölder $\frac1m$ en una raíz de multiplicidad $m$ , jamás lipschitziano: numéricamente, las raíces múltiples cuestan la mitad de las cifras.

Solución

Solución de Problema 16.1.

1. Para $\abs z \geq 1$ :

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

para $\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ , $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ .

2. Elíjase $R \geq R_0$ con $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ . En el compacto $\bar D(0, R)$ , la continua $\abs P$ alcanza un mínimo, en cierto $z_0$ ; fuera, $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : el mínimo es global.

3. $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ es un polinomio en $h$ con $Q(0) = 1$ ; no es constante ( $P$ tampoco lo es), de modo que algún coeficiente más allá del término constante es no nulo: $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ con $k \geq 1$ mínimo, $c_k \neq 0$ , $S \in \C[X]$ .

4. Raíces: todo $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ tiene la raíz $k$ -ésima $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ , donde $\rho^{1/k}$ existe por el teorema del valor intermedio aplicado a $t \mapsto t^k$ en $\intco0\infty$ — sin circularidad. Tómese $\omega$ con $\omega^k = -1/c_k$ . Entonces

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

con $C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ (obsérvese que $1 - t^k \geq 0$ en $\intcc01$ ).

5. Para $0 < t < \min(1, 1/C)$ : $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ , es decir, $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — en contradicción con la minimalidad global. Luego $P(z_0) = 0$ : la demostración de d’Alembert–Argand es completa.

6. Versión de Liouville: si $P$ no se anula nunca, $1/P$ es entera; por la pregunta 1, $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ fuera de $\bar D(0, R_0)$ , y $1/P$ es continua en ese disco compacto, luego acotada también allí: entera y acotada, luego constante (el Corolario 16.12), lo que hace constante a $P$ : absurdo. Ingredientes: d’Alembert usa la compacidad (existencia del mínimo) y la existencia, vía forma polar, de raíces $k$ -ésimas; Liouville usa todo el aparato de Cauchy (Goursat — que es a su vez un argumento de compactos encajados — y las estimaciones de Cauchy) más la misma coercividad. La compacidad de los discos cerrados es el núcleo común e irreducible.

7. Si $\deg P \geq 1$ , tómese una raíz $\alpha$ (preguntas 5); divídase: $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ , con $\deg Q = n - 1$ ; e indúzcase. Agrupando los factores iguales: $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ , $\sum m_i = n$ .

8. Para $P$ real: $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , y las multiplicidades coinciden (conjúguese la factorización): las raíces no reales van por pares, aportando $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ , un polinomio real de grado dos con discriminante $< 0$ . De ahí la lista enunciada de irreducibles, y un polinomio real de grado impar, que tiene un número par de raíces no reales, ha de tener una real. Demostración directa: $P(x) \to \pm\infty$ cuando $x \to \pm\infty$ (grado impar, coeficiente dominante positivo, digamos), de modo que $P$ cambia de signo y se aplica el teorema del valor intermedio. Para $X^3 - X - 1$ : ambos argumentos dan la única raíz real $\approx 1.3247$ (y un par conjugado).

9. (i) $\chi_u \in \C[X]$ no es constante: tiene una raíz $\lambda$ , y $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ da un vector propio; la maquinaria de los divisores elementales del Teorema 3.18 se aplica entonces a cualquier matriz compleja, escindiéndose $\chi$ siempre. (ii) Sea $P \in \bar\Q[X]$ no constante. Como polinomio sobre $\C$ , tiene una raíz $z \in \C$ ; $z$ es algebraico sobre $\bar\Q$ , luego sobre $\Q$ por transitividad (el Corolario 4.5), de modo que $z \in \bar\Q$ : todo polinomio no constante sobre $\bar\Q$ tiene una raíz en $\bar\Q$ .

10. Sobre $\Q(\iu)$ , la pregunta 4 ya falla: las raíces $k$ -ésimas pueden no existir (ningún $\sqrt2$ ) y, aun concediendo las raíces, falla la pregunta 2 — una sucesión minimizante no tiene por qué converger, al carecer $\Q$ de completitud; por la vía de Liouville, los triángulos compactos encajados de Goursat tienen intersección vacía sobre los puntos de $\Q(\iu)$ . Ambas demostraciones consumen la completitud (equivalentemente, vía la convergencia monótona acotada, la completitud del orden) de $\R$ ; la conexión alimenta el teorema del valor intermedio que sostiene la forma polar. El enunciado « $\C$ es algebraicamente cerrado» es álgebra; toda demostración conocida es análisis pasado de contrabando por la definición de $\R$ .

11. Por el Teorema 16.10 en $a$ , $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ con

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

las estimaciones de Cauchy, en la forma exhibida tras multiplicar por $n!$ . Si $\abs f \leq M$ en $\C$ : para todo $a$ y todo $r$ , $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ cuando $r \to \infty$ , de modo que $f' \equiv 0$ y $f$ es constante en el conexo $\C$ — Liouville recuperado.

12. Desarróllese $f = \sum_kc_kz^k$ en $0$ (radio $\infty$ ). Para $k > m$ : $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ cuando $r \to \infty$ , luego $c_k = 0$ : $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ es un polinomio de grado a lo sumo $m$ .

13. $g = \eu^f$ es entera con $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante por la pregunta 11. Entonces $0 = g' = f'g$ con $g$ sin ceros: $f' = 0$ y $f$ es constante.

14. Sea $M = \sup_K\abs f$ en el cuadrado unidad cerrado $K$ , que es compacto. Todo $z$ difiere de un punto de $K$ en un elemento de $\Z + \iu\Z$ (réstense las partes enteras), e iterar las dos relaciones de periodicidad deja $f$ inalterada: $\abs f \leq M$ en todo $\C$ , y la pregunta 11 hace $f$ constante. Así pues, una función no constante invariante por la red no puede ser entera: las funciones elípticas de la teoría clásica han de cargar con polos — la puerta histórica al Capítulo 17.

15. Si $f(\C)$ evita el disco $D(a, r)$ , entonces $\abs{f(z) - a} \geq r$ para todo $z$ , de modo que $g = 1/(f - a)$ es entera con $\abs g \leq 1/r$ : constante por Liouville, luego $f$ constante. Contrarrecíproco: la imagen de una función entera no constante corta todo disco — es densa en $\C$ .

16. Elíjase $R$ con $\abs f \geq 1$ fuera de $D(0, R)$ . Los ceros de $f$ están en el compacto $\bar D(0, R)$ ; si fueran infinitos, se acumularían allí, y el Teorema 16.13 forzaría $f \equiv 0$ — imposible. Llámense $z_1, \dots, z_p$ , con multiplicidades $m_1, \dots, m_p$ , y póngase $M = \sum m_i$ y $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ . Factorizando cada cero fuera de la serie de potencias, $g = f/\Pi$ es entera y sin ceros. Para $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ : $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ y $\abs f \geq 1$ , de modo que $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; en el disco compacto restante, $1/g$ es continua, luego acotada: $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ en todas partes. Por la pregunta 12, $1/g$ es un polinomio; carece de ceros, así que, por la pregunta 7, es una constante no nula $c$ : $f = \frac1c\Pi$ es un polinomio. Recíprocamente, la pregunta 1 hace propio a todo polinomio no constante. Y $\eu^z$ queda honestamente excluida: a lo largo de $\R_-$ , $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ mientras que $\abs z \to \infty$ .

17. Parametrícese el Teorema 16.9 en el centro: con $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ , $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ ,

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

y tomando partes reales se obtiene la propiedad del valor medio de $u$ . Si $u$ alcanza un máximo en un punto interior del conexo $\Omega$ : $\abs{\eu^f} = \eu^u$ alcanza un máximo interior, de modo que $\eu^f$ es constante por el Teorema 16.14(2), y $u = \log\abs{\eu^f}$ es constante. En un dominio acotado con continuidad hasta la frontera, $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ , exactamente igual que para $\abs f$ .

18. Caso $\abs a > r$ . Tómese $R$ con $r < R < \abs a$ : en el disco convexo $D(0, R)$ , la función $a - z$ es holomorfa y sin ceros, y $z \mapsto -1/(a - z)$ tiene allí una primitiva $L$ (el Teorema 16.8); tras ajustar la constante, $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ da $\eu^L = a - z$ : existe un logaritmo holomorfo, y $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ . La propiedad del valor medio de la pregunta 17 en $0$ , radio $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

Caso $\abs a < r$ . De $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ , la media vale $\log r$ más la media de $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ . La sustitución $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ y después — escribiendo $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ , $\rho < 1$ , siendo trivial el caso $a = 0$ — el desplazamiento $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (ambos conservan las medias sobre un periodo) convierten esto en la media de $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : el primer caso con $(a, r) = (1, \rho)$ , que da $\log 1 = 0$ . En total: $\log r = \log\max(\abs a, r)$ en ambos casos.

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ , con cada raíz repetida según su multiplicidad; promediando en $\theta$ y aplicando la pregunta 18 con $r = 1$ a cada raíz fuera de la circunferencia unidad se obtiene $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ . Comprobaciones. Para $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ , la fórmula predice $\log 2$ ; directamente, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ y la media de $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ es $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : media $\log 2$ . Para $P = X^2 - X = X(X - 1)$ , la raíz $1$ está sobre la circunferencia; la fórmula predice $0$ . Directamente, la media de $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ es $0$ , y con $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

Las sustituciones $u = 2v$ y $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ dan $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (cada mitad vale $J/2$ por las simetrías de $\sin$ ), de modo que $J = -\pi\log 2$ (las integrales impropias convergen, siendo $\log\sin$ integrable en los extremos): la media es $\log2 - \log2 = 0$ . La fórmula sobrevive a las raíces sobre la circunferencia.

20. $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ es entera y vale $1$ en $0$ : su inversa es holomorfa cerca de $0$ (de hecho en $\abs z < 2\pi$ , siendo $\pm2\iu\pi$ los ceros no nulos más próximos de $\eu^z - 1$ ), de modo que $\frac z{\eu^z-1}$ es analítica en $0$ . Multiplicando las dos series y leyendo el coeficiente de $z^n$ , $n \geq 1$ , en $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ :

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

Sucesivamente: $B_0 = 1$ , $B_1 = -\frac12$ , $B_2 = \frac16$ , $B_3 = 0$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_5 = 0$ , $B_6 = \frac1{42}$ . Paridad: con $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ ,

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

$F$ es par, de modo que $B_{2k+1} = 0$ para $k \geq 1$ (el único coeficiente impar $B_1$ quedó absorbido por $+\frac z2$ ). Anticipo: $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ da $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ , de modo que los coeficientes de Laurent de la cotangente — y por tanto, vía el Capítulo 17, todo $\zeta(2k)$ — llevan precio en números de Bernoulli:

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. Escríbase $f = \sum_nc_nz^n$ (radio $\infty$ ); entonces $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ es entera. En $\R$ : $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ , de modo que $g$ y $f$ coinciden en un conjunto con puntos de acumulación en el conexo $\C$ : el Teorema 16.13 da $g \equiv f$ , es decir, $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (equivalentemente: todos los $c_n$ son reales). Para un polinomio real $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , y la misma identidad aplicada a las derivadas reales $P', P'', \dots$ conserva las multiplicidades: las raíces no reales se emparejan — el emparejamiento de la pregunta 8, demostrado ahora analíticamente.

22. La escala, montada: acotada $\Rightarrow$ constante (11); dominada por $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ polinomio (12); parte real acotada superiormente $\Rightarrow$ constante (13); doblemente periódica $\Rightarrow$ constante (14); imagen que omite un disco $\Rightarrow$ constante (15); propia $\Rightarrow$ polinomio (16). Todo peldaño es la fórmula de Cauchy: el valor en un punto es un promedio sobre una circunferencia, de modo que todos los coeficientes de Taylor llevan el precio del tamaño de $f$ en circunferencias grandes, y un tope de crecimiento aniquila coeficientes al por mayor. Nada semejante restringe a las funciones reales $\mathcal C^\infty$ : una función meseta (el Teorema 12.9) es acotada, de soporte compacto y salvajemente no constante, y todas sus derivadas en cualquier punto fuera del soporte se anulan sin que la función se anule en ningún entorno. La suavidad no acopla en absoluto las derivadas en puntos distintos; la holomorfía encadena cada derivada a una única integral sobre una circunferencia lejana. Una condición local con un informante global — por eso las funciones enteras obedecen a la ley y al orden.

23. Desarrollando $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ y promediando se mata todo término $k \neq l$ : la media es $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ . Supóngase primero que $P$ no tiene ceros sobre la circunferencia unidad, de modo que $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ es continua. La cota $\log t \leq t - 1$ aplicada a $t = \abs P^2/N$ da, tras promediar,

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

de modo que la media geométrica de $\abs P$ es a lo sumo $\sqrt N$ ; la pregunta 19 identifica esa media geométrica con $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : la desigualdad de Landau. Raíces sobre la circunferencia: tómese $r > 1$ distinto de todo $\abs{\alpha_i}$ ; el polinomio $P(rX)$ , con raíces $\alpha_i/r$ fuera de la circunferencia unidad y coeficientes $a_kr^k$ , cumple la desigualdad; ambos miembros son continuos en $r$ , y haciendo $r \to 1^+$ se obtiene el caso general. En $X^2 - X$ : raíces $0$ y $1$ , de modo que el miembro izquierdo es $1$ y el derecho $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : cierto, y con holgura.

24. Escríbase $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ con $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ entera, $g(0) = 1$ . Como $\eu^z = 1$ exactamente en $2\pi\iu\Z$ , $g$ no tiene ceros en $D(0, 2\pi)$ (para $0 < \abs z < 2\pi$ porque $\eu^z - 1 \neq 0$ , y en $0$ por $g(0) = 1$ ), de modo que $h = 1/g$ es holomorfa en $D(0,2\pi)$ y su serie de Taylor en $0$ — por definición $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — converge en todo el disco: $\rho \geq 2\pi$ . Si $\rho > 2\pi$ , la suma $S$ sería holomorfa en $D(0,\rho)$ y coincide con $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ en $0 < \abs z < 2\pi$ ; ambas son holomorfas en el abierto conexo $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ , de modo que, por el principio de identidad, coinciden allí. Pero cuando $z \to 2\pi\iu$ , $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (numerador $\to 2\pi$ , denominador $\to 0$ ), mientras que $S$ es continua en $2\pi\iu$ : contradicción. Luego $\rho = 2\pi$ exactamente, y la fórmula de Hadamard da $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ; siendo nulos los coeficientes impares a partir de $n = 3$ , el $\limsup$ lo llevan los índices pares, que es la fórmula enunciada con $n = 2k$ . Numéricamente en $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3.7858\cdot10^9$ y $2\cdot12! = 958\,003\,200$ , de modo que $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0.25305$ , frente a $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0.25311$ . El cociente, $1.00025$ , es exactamente $\zeta(12)$ hasta las cifras mostradas: la fórmula del cálculo de residuos $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ del Capítulo 17 explica tanto el factor $2$ como el minúsculo exceso.

25. Cota de Cauchy: si $\abs z > 1 + M$ con $M = \max_k\abs{q_k}$ , entonces

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

luego $\abs{Q(z)} > 0$ : todas las raíces están en $\overline D(0, 1+M)$ . Los coeficientes de los $P_j$ convergen, luego están acotados por cierto $M$ : todas las raíces de todos los $P_j$ (y de $P$ ) están en el compacto $K = \overline D(0, 1 + M)$ . Sea $v_j \in K^n$ un vector que lista las raíces de $P_j$ con multiplicidad (pregunta 7). Toda subsucesión de $(v_j)$ tiene una subsucesión ulterior convergente a cierto $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ ; los coeficientes de $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ son, salvo signo, las funciones simétricas elementales de $v_j$ — continuas —, de modo que a lo largo de esa subsucesión convergen a los coeficientes de $\prod_i(X - \beta_i)$ ; pero convergen a los de $P$ por hipótesis, luego $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : todo límite subsucesional de $(v_j)$ es una permutación del vector de raíces de $P$ . Si la distancia de emparejamiento $\delta_j = \min_\sigma\max_i\, \abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ no tendiera a $0$ , una subsucesión mantendría $\delta_j \geq \varepsilon$ mientras sus vectores de raíces convergen a una permutación de las raíces de $P$ — forzando $\delta_j \to 0$ a lo largo de ella: contradicción. Los multiconjuntos de raíces convergen, pues. Optimalidad: $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ tiene raíces $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : la raíz doble se desplaza en $\sqrt\varepsilon$ , por ejemplo en $10^{-2}$ para $\varepsilon = 10^{-4}$ . En general, si $\alpha$ es una raíz de multiplicidad $m$ , cerca de $\alpha$ se tiene $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ , de modo que una perturbación de tamaño $\varepsilon$ desplaza el racimo de raíces en aproximadamente $\varepsilon^{1/m}$ : continuidad de Hölder de exponente $\frac1m$ y nada mejor — por eso un método numérico cerca de una raíz doble conserva solo la mitad de las cifras de trabajo.

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